张量：弹性力学之数学魔术（一）
本帖最后由 weixin 于 2022-2-17 14:54 编辑很多人都喜欢魔术表演，魔术师可以无中生有、也可以令物品瞬间消失，这总会让人惊叹不已。张量作为描述弹性力学（连续介质力学）的重要数学工具，也有魔术般的神奇：一个简洁的公式，按照一定的规则展开，随下标个数越展越多，形成一系列的公式（无中生有）。相反方向，一系列的方程写成张量形式，又像许多物品突然变成了一个物品，其它瞬间消失。本文将从张量的定义、运算讲起，解释弹性力学方程的张量形式，体味张量作为数学魔术的魅力。
一、从数量、矢量到张量小时候，我们最先学习了数量（力学中称标量），只有大小，没有方向，可直接进行四则运算。到了中学，开始学习向量（力学中称矢量），不但有大小，还有方向，向量的运算需要用到平行四边形法则、点乘、叉乘等。数量用以描述质量、温度、体积等量，向量描述的力、速度、动量等量。在弹性力学里还有一类更为复杂的量，被称为张量。
如描述一点处应力状态的量就是一种张量。众所周知，定义一点的应力，需要先过该点做一假想截面，然后求该假想截面上的平均应力，当假想截面趋近于该点时（面积趋近于0），平均应力的极限即为该点的应力。但问题是过一点可做无数多个假想截面，截面方向不同，应力的取值就会不同，直接对所有截面上的应力进行描述，几乎是一件不可能的事。为此，力学家巧妙的构造出了任意斜面，如图1所示。考虑斜面及其在坐标面上的投影组成一个四面体模型。可以看出，任意斜面的方向可由它在坐标平面上的投影唯一确定，虽然斜面是任意的，但坐标面是固定的。这样，只需要研究清楚坐标面上的应力分量，就可以利用平衡条件获得任意斜面的应力分量，也就可以确定出该点处任意方向上的应力。
图1 任意斜面上的应力
从坐标投影面上看，每个面上均有3个应力分量，因此，一点处的应力状态可以通过如图1所示三个坐标投影面上的9个应力分量来描述，这9个应力分量写成矩阵的形式，称之为应力矩阵，如
现在，我们来做一个标记，将 x 轴记为1轴，y 轴记为2轴，z 轴记为3轴，并将正应力和切应力不加区分的都记为σ，利用下标表出应力分量在应力矩阵中的位置，如
可见，当i=j 时为正应力，i≠j 时为切应力。这样就通过一个量σij描述了一点处的应力状态，这个量就称为应力张量。由此可见，张量其实就是一个群量的集合。必须强调的是，这一群量并非“乌合之众”，而是要满足一定的变换规则。
二、张量的变换规则有关张量所需要满足的变换规则，最早来源于黎曼 (GeorgFriedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) 对曲线坐标系中微分几何性质的研究。假设有一个n 维空间（黎曼称之为流形），设空间任意点的坐标可表示为 (x1, x2, …, xn)，并以此来定义空间中任意两点之间的距离（几何性质）。由于黎曼所讨论的空间是任意的，所用的坐标系也是曲线的，因此，他认为我们只能局部的了解空间，而无法直接获得空间的整体性质。在这一指导下，他采用微分形式定义了空间无限接近的两点之间的距离（1854年），如
其中，gij是坐标 (x1, x2, …, xn) 的函数，且gij=gji。显然，空间中两点之间的距离是固定的，不会因为坐标发生改变而改变。也就是说上式并不会因所用的坐标系不同而不同，这种不随坐标系改变而发生改变的量被称为不变量。通常情况下，几何性质（如两点之间的距离、面积、体积等）和物理性质（力、磁场、电场等）都不会因坐标系的改变而改变，理论上都可以作为不变量。
图2Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866高斯的同事哥廷根学派代表人物
再举一个例子，图3所示的两个坐标系中，坐标系x1'x2'x3' 是不同于x1x2x3的另外一套坐标系，有两个矢量，=(a1, a2, a3) 和=(ξ1, ξ2, ξ3)。显然，在不同的坐标系中，两个矢量的分量不同，但两矢量的长度无论在哪个坐标系下都不会发生变化，同时两矢量的夹角也不会发生变化，因此两矢量的内积也是一种不变量，即
图3 不同坐标系下的矢量
1887-1898年，意大利数学家格雷戈里奥·里奇 (Gregorio Ricci-Curbastro, 1853-1925) 将不变量的形式进行了深入研究，旨在寻求一般性问题有关几何性质和物理性质的不变量形式，并建立张量的一般理论。
图4 Gregorio Ricci-Curbastro，1853-1925张量微积分的发明者
假设 (ξ1, ξ2, ξ3) 是一已知矢量，另有任意数组 (a1, a2, a3)（不确定是否为矢量），不变量的一次形式定义为
当坐标系发生变化时，上述不变量的一次式保持不变，就称数组(a1, a2, a3) 为矢量，矢量也被称为一阶张量。
假设 (ξ1, ξ2, ξ3) 和 (η1, η2, η3) 是两个已知矢量，另有任意数组aij(i, j=1,2,3)，不变量的双一次形式定义为
当坐标系发生变化时，上述不变量的双一次形式保持不变，就称数组aij 为一个二阶张量。显然，应力张量应该满足上式，是一个二阶张量。黎曼给出的公式中，gij也是一个二阶张量。
继续假设 (ξ1, ξ2, ξ3)、(η1, η2, η3)、(ζ1, ζ2, ζ3) 是三个已知矢量，不变量的三一次形式定义为
当坐标系发生变化时，不变量的三一次形式保持不变，就称数组aijk 为一个三阶张量。可见，张量的下标个数表示了张量的阶数。
仿照上式方式，可以构造出四一次形式、五一次形式等等，同样的方法，可以用它们定义出四阶张量、五阶张量等更高阶的张量。这样，张量就被定为在坐标变换时满足某种不变形式的一群量。特别规定，标量为零阶张量。这样，标量（数学中称数量）、矢量（数学中称向量）就都统一到了张量中。张量的分量数由空间的维度和张量阶数共同决定，如α 维空间中的n 阶（n 也是下标个数）张量，其分量数等于αn。例如，前面提到的三维空间中矢量有3个分量，即31，应力张量有9个分量，即32。如果是在二维平面内，矢量有2(21)个分量，应力张量有4(22) 个分量，以此类推。
三、张量的基本运算与约定明白了张量的定义，现在我们看集中张量的基本运算。首先是和运算，若有两个张量aij 与bij，其和张量为cij，则有
张量的和运算必须在两个同阶张量间才能进行，运算时对应分量进行和运算，和矩阵的和运算完全一致。
再看求导运算，依照将x、y、z 轴称为x1、x2、x3 轴的规定，空间中的位移分量u、v、w 写成ui(i=1,2,3)，u1=u，u2=v，u3=w。如果写出əui/əxj，共有9项，展开如下：
· 先展开分母：
· 再展开变分子：
可以看出，写出一个əui/əxj，就代表了9个分量，这在描述上有很大的方便性。再规定：用“，”表示求偏导，例如əui/əxj 可以写成ui,j，即əui/əxj=ui,j，形式上又简化一步。在弹性力学中常见的偏导，如：
等等，这些量随着下标变化时都会形成一个集合，而每一个集合都在坐标变换时满足不变形式，它们的集合都是张量，下标个数依然表达张量阶数，分量数依然满足αn。例如：
· ui,j 为二阶张量（2个下标），共9个分量（三维空间，32）；
· σij,k 为三阶张量（3个下标），共27个分量（三维空间，33）；
· σij,kl 为四阶张量（4个下标），共81个分量（三维空间，34）。
等等。很显然张量形式是比分量形式具有更加简洁的书写格式，对于高阶张量这一优势越加明显。如果没有张量，讲解σij,kl ，恐怕就要老老实实的写出81个量，有个张量，只需要写一个σij,kl就理解了81个量。
在张量的运算中，大科学家爱因斯坦 (Albert Einstein,1879-1955) 也留下重要一笔。如前面我们在计算一次形式
可以看到，求和项中，a 和ξ 有相同的下标，它们表示了求和。既然如此，求和符号就可以默认不写，只要在同一项里看到有相同的两个下标，它们则意味着相加，即
我们把这一求和约定称为爱因斯坦求和约定，我们把相同下标称为哑标，表示“只要见到同一项里有两个下标相同，不用说话，直接求和”。在双一次形式中，
展开两对以上的哑标时，只需要排好顺序，一对一对的展开即可。如上式，i 和j 都是哑标，展开时，先展开j，1项变3项，再展开i，每1项继续展开为3项，共9项。类似可以写出三一次形式，四一次形式等。
在弹性力学中，用到爱因斯坦求和约定的式子有很多，例如
上式中，j 是哑标，表示求和，展开为三项之和，这里i 是单独的，被称为自由标，求和约定不影响自由标。可见求和之后自由标保留，哑标消失。
需要注意的是，我们在三维空间中，下标从1轮换到3进行求和，如果是在n 维空间中，求和需要把下标从1轮换到n 进行求和，会出现n 项求和，如果有n 对哑标，求和后一共有n×n 项。在这里，如果不做特殊说明，都假定在三维空间讨论问题，下标从1轮换到3。
参考文献：
克莱因 古今数学思想
百度百科、百度文库、维基百科等资料
来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。
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