自由梁的刚体运动和弹性运动的耦合振动

micjor

　　为简化，首先假定自由梁是平面内的等截面欧拉梁，其具有一种或两种刚体运动。
　　在列自由梁的偏微分方程时，其刚体运动是如何被考虑进去的。经查文献，似乎可以将刚体振型取做梁的前几阶振型，这样刚体振型和弹性振型被一起考虑为自由梁的所有模态振型，则自由梁的偏微分方程仍具有相同的形式，只不过前几阶振型为刚体振型面已。但这样做似乎会有以下问题：
　　正则坐标下的梁的各弹性模态之间是互相正交的，因此，可以用分离变量法将偏微分方程转化为一系列正则坐标的二阶常微分方程，由此而方便求解。然而，如果刚体模态被计及为梁的前几阶模态，由于刚体模态与各阶弹性模态是不正交的(这一点应该显而易见)，因此在用分离变量法对偏微分方程进行转换时，得到的各阶弹性正则坐标下的二阶常微分方程中将包含与刚体模态的耦合项(因为各阶弹性模态与刚体模态不正交，因此在进行积分时无法消除刚体模态项)。
　　由以上分析，是不是可以得出这样的结论：对于具有刚体运动的自由梁，其弹性模态会与刚体模态发生耦合，自由梁的刚体运动和弹性运动不能分离！
　　以上愚见，还请大侠给予指正讨论。

无水1324

有意义的问题，路过后面的高手继续！

micjor

　　自已顶一下，是否关心自由梁的人较少。。。
　　刚看到本结构动力学的书，上面写到：“两端自由的梁有两个刚体模态，对应的振动频率等于零，一个是随质心的平动，振型为Y(x)=1，另一个是绕质心的转动，振型为Y(x)=1-2x/L，其中L是梁长。这两阶振型正好能满足振型函数的正交性”。然而，接下来没有对此进行证明。
　　这么说，自由梁的刚体模态与弹性模态也是正交的？如果这个成立的话，自由梁的刚体运动和弹性运动确实可以分离！可是如何从数学上证明这一点呢，困惑中。。。

GGONG

自由梁模态与弹性性运动模态（这是你的用词）正交应该属于一中巧合。如作平动的模态与反对阵弹性模态正交，与对阵模态不正交。

micjor

　　我用matlab编程随便验证了一下，用弯曲振型函数乘以刚体振型函数(由于等载面梁的质量密度是常数，所以省去了)，再沿梁长积分(数值积分)，如果结果是0，说明是正交的。计算了前三阶弯曲振型，发现积分得到的结果很小，0.01级以下，似乎可以验证前三阶弹性模态是与两个刚体模态正交的。
　　

micjor

自已编程验证了一下，以下是matlab代码。可能看代码不太了解，里面有些数学推导省掉了，总之，最后得到的U有三列，其值越小，说明误差越小，有兴趣的朋友可以参考下。

%验证:1.自由梁刚体模态与各阶弹性模态是否正交
%验证:2.自由梁的各阶弹性模态广义质量是否等于梁的质量
clc,clear;
syms r x Y L a B V;
L=25;         %梁长
for r=1:50    %r代表弹性模态阶数
   
        if r==1
             a=4.73;
        else
             a=(r+0.5)*pi;
        end  
   
        B=a/L;
        V=-(cosh(a)-cos(a))/(sinh(a)-sin(a));
   
        %y1,y2分别是刚体浮沉振型和点头振型与各阶弹性振型的正交项
        %Y是各阶弹性振型本身的正交项，即模态广义质量的一部分
        y1=@(x)[cosh(B*x)+cos(B*x)+V*(sinh(B*x)+sin(B*x))];
        y2=@(x)[(L/2-x).*(cosh(B*x)+cos(B*x)+V*(sinh(B*x)+sin(B*x)))];
        Y=@(x)[(cosh(B*x)+cos(B*x)+V*(sinh(B*x)+sin(B*x))).^2];  
   
        %对各个正交项沿梁长数值积分
        p1(r)=quad(y1,0,L);
        p2(r)=quad(y2,0,L);
        m(r)=quad(Y,0,L);
end

m=m-L;
U=[m;p1;p2];U=U';

%结论：前10阶正确，精度较高。随着阶数增加，误差越来越大。

[ 本帖最后由 micjor 于 2009-8-21 23:58 编辑 ]

VibrationMaster

我的理解是：正交的。为什么会“显而易见”呢？

ChaChing

太久没碰数学了, 几乎忘乾净了! 看了几次, 不是很确定LZ说的
难道LZ的刚体振型和弹性振型不是一次求出的吗? 若是, 不是一定正交?

nonlinear

个人觉得您所说的刚体模态正交的情况，刚体模态是通过正交化处理（对质量或刚度）的。
您的算例，可能如同楼上所说，是个巧合。
那问题就到了同一个频率在什么情况下，未经正交处理的阵型就可以是正交的。这是否和质量矩阵与刚度矩阵的特殊的元素排布有关？

micjor

　　终于等到各位大侠的讨论了，先谢过！
　　自由梁所谓的刚体振型函数就是两个(用小写y表示)：浮沉：y(x)=1；点头：y(x)=x-L/2。其中，L是梁长，x从0到L。
    　弯曲振型函数(所谓的弹性振型函数，用大写Y表示)：Y(x)=C[cos(a*x)+cosh(a*x)+b*(sin(a*x)+sinh(a*x))]。其中，a和b是两个常数，由各阶自然频率w和梁长L确定(为简化，省去了表达式，可参看结构动力学的书)。C是振幅大小，其值由振型函数归一化方式确定，一般是对广义质量归一化。可以看出，各阶自然频率w对应各阶弯曲振型Y(x)，由于理论上自然频率w有无穷个，所以其对应的振型函数Y(x)也是无穷个。
　　如果刚体振型与弯曲振型正交，则两个小写y(x)分别乘以无穷个大写Y(x)，再沿梁长积分，结果应该都等于0，对于这一点，应该没有问题吧。(等截面欧拉梁质量密度是常数，所以省掉了，另外，C是常数项，也可以省去。)
        根据以上分析，便有了上面的验证程序。结果发现：前10阶完全正确，即两个小写y(x)分别乘以前10个大写Y(x)，再从0至L积分，结果趋近于0；但10阶以后，计算结果的绝对值越来越大，以至后面变得十分夸张了。
　　至于为什么，我也无从得知。但从应用角度来说，前10阶如果满足就已经够了，即可以认为：自由梁的刚体模态和弹性模态是正交的，刚体运动和弹性运动可以分离！
　　

ChaChing

不知是否个人搅错了!? 澄清下
LZ的弹性振型Y(x)=C[cos(a*x)+cosh(a*x)+b*(sin(a*x)+sinh(a*x))], 好像并非边界为free-free的理论解吧!
而刚体振型却是边界为free-free的解

wanyeqing2003

我看了一下，发现楼主说的有几个问题
1、自由梁的刚体运动，不应该考虑弹性约束，其模态振型的固有频率应该为0。
2、振动耦合问题，在多自由度体系中是很常见的。
3、可以利用振型分解法（或者叫振型叠加法）解耦，可以用特征方程来确定特征矢量......

micjor

两端固支振型：Y(x)=C[cosh(a*x)-cos(a*x)+b*(sinh(a*x)-sin(a*x))]
两端自由振型：Y(x)=C[cos(a*x)+cosh(a*x)+b*(sin(a*x)+sinh(a*x))]

VibrationMaster

1。再次声明两端自由振型：：Y(x)=C[cos(a*x)+cosh(a*x)+b*(sin(a*x)+sinh(a*x))]的这个振型不包含振型的一阶和二阶。一阶，二阶的解需要回到原始的重零频定义，另解方程。很多教材跳过了这一点。
2。随便选取的一阶和二阶自己可能不正交(因为重频），但是与三阶以后的完全正交。

micjor

原帖由 VibrationMaster 于 2009-8-23 22:00 发表

                               
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1。再次声明两端自由振型：：Y(x)=C[cos(a*x)+cosh(a*x)+b*(sin(a*x)+sinh(a*x))]的这个振型不包含振型的一阶和二阶。一阶，二阶的解需要回到原始的重零频定义，另解方程。很多教材跳过了这一点。
2。随便选取的一阶 ...

　　您解答得相当好！多谢！
　　前二阶对应零重频率。由于前二阶零频率与三阶后的非零频率不同，所以前二阶振型应该与三阶后的振型完全正交！这一点确实可以通过正交性证明中的推导确定。
　　后细看了书中所述：“对应零频率下的刚体振型表达式可解为：y(x)=c+dx。其包含c和d两个独立参量，有两个独立刚体模态，一个是随质心的平动：y(x)=1，一个是绕质心的转动：y(x)=x-L/2”。在这里，这两个刚体振型函数是如何确定的。
　　在以上认识下，仍有两个问题疑惑：
　　1、为什么用程序验证时，二阶刚体模态与前十阶弹性模态正交，为什么十阶以后就不正立了？这跟matlab的积分函数有原因吗？
　　2、二个所谓独立刚体模态的振型函数是怎么确定的，它们之间也一定正交吗，毕竟对应的都是零频率。

　　感谢各位的讨论！