线性及非线性的界定问题

mofei

大家好，请教大家关于线性和非线性系统的问题：
1）有资料介绍，当系统的振荡幅度远小于系统的宏观尺寸时，系统可认为是线性系统；
2)还有很多资料上提到复杂系统时，都说其具有非线性特性，产生的振动具有非平稳时变特性；
我个人感觉是不是线性系统和非线性系统有不同的划分标准？根据分析问题的侧重点不同，有不同的理解？是这样吗？

谢谢大家了。

chenxuan6331

实际的工程系统都会在一定程度上呈现出非线性。线性系统只是对客观实际的一种近似模型。出了以下两种情况：1、对某些特定问题希望得到更准确的定量分析；2、本质非线性情况，无法用线性模型求解以外，一般的系统都可近似为线性模型求解。而且由于线性系统理论比较完善，对系统的稳定性、鲁棒性等性质都有普适方法。

wangwei20030530

很多实际的工程问题在简化到力学模型时，并不一定要按照书本上按部就班，根据设计和施工精度的需要来决定采用何种模型，不过具体的过程可以咨询相关的专家或根据以往的经验。

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(1)  线性   
    对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的：其一，叠加原理成立：“如果ψl，ψ2是方程的两个解，那么aψl+bψ2也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。”[1]叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。
    (2)  非线性
    在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：
    其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”[2]，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的操作，等于分别对φ和ψ操作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的操作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
    其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。
    对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。
关于非线性概念需要强调的是，线性或非线性的提法是相对于物理变量而言的，也就是说，只有物理变量的关系才是判断是否是非线性的根据，而非物理变量的关系不能成为非线性与否的判据。这里所说的物理变量是指那些可以观测的、人们感兴趣的、对人类有意义的变量。例如分形理论中，简单分形的分维D是恒量，在无标度区间内lnN=DlnL，lnN与lnL是线性关系，但是显然不能籍此得出简单分形是线性的结论。这里的物理变量是N和 L，而不是经过对数变换的nN与lnL，即人们可观测的、感兴趣的、对人们有意义的是N和L，而不是lnN和lnL，N与L的关系N=LD是非线性的，所以可得出分形是非线性的结论。再如，物价对时间的直接关系(而不足Mandbrolt所统计的棉花价格指数的无标度性)正是人们感兴趣的、对人们有意义的，而且两者的关系是非线性的，所以物价随时间的变化是一种非线性现象。

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从力和加速度、速度、位移的关系来区分线性非线性比较好