用1stOpt求解常微分方程及方程组(转贴）

dingd

转贴自仿真论坛（Simwe)
用1stOpt求解常微分方程及方程组1stOpt求解非线性方程组已有不少介绍和很多应用，但遗憾的是1stOpt没有提供常微分方程的求解功能，在这里介绍一种变通的方法，通过差分格式，不仅能求解标准的微分方程，还能求解任意复杂的微分方程，只是其精度只相当于欧拉法（Euler）。

如：y' = dy/dt = t*y，初值 t = [0, 1], y = 1

1stOpt代码：
Constant dt=0.1;                                  //步长，越小精度越高，但计算时间也长
LoopConstant y1=[1,y2], t=[0:dt:1];
Parameter y2;
Function (y2-y1)/dt = t*y1;

上面代码中LoopConstant y1=[1,y2]表示第一步时y1值为1，以后y1则等于上一循环计算所得的y2。
计算结果如下，与常微分欧拉法所得一样：

循环常数 t 循环常数 y1
0 1
0.1 1
0.2 1.01
0.3 1.0302
0.4 1.061106
0.5 1.10355024
0.6 1.158727752
0.7 1.22825141712
0.8 1.3142290163184
0.9 1.41936733762387
1 1.54711039801002

上例并无特殊优势，但看下例：
y' = t*y-z*z';
z' = t*z+y*exp(y'+z');
初值t = [0,1], y=1, z=1

这种形式标准的方法如欧拉法、龙格库塔法都无法直接求解了。

1stOpt代码：
Constant dt=0.1;
LoopConstant y1=[1,y2], z1=[1,z2], t=[0:dt:1];
Function (y2-y1)/dt = t*y1-((z2-z1)/dt)*z1;
             (z2-z1)/dt = t*z1+y1*exp((y2-y1)/dt+(z2-z1)/dt);

结果：
循环常数t y z
0 1 1
0.1 0.899999999847854 1.10000000015216
0.2 0.798894469008816 1.20009593727422
0.3 0.69409853000059 1.30073274860262
0.4 0.582334502155038 1.40266528157356
0.5 0.459205702222521 1.50705382100723
0.6 0.318419202912966 1.6157073953972
0.7 0.150372647532221 1.73154006912461
0.8 -0.0603377391019254 1.85930868153434
0.9 -0.338707575417113 2.0064293936054
1 -0.723016256208378 2.18277499546557

由上例，1stOpt可求解任何复杂形式的常微分方程组，其精度可通过减少步长来获得提高。