[总结]Hopf分岔的认识

无水1324

近期比较悠闲，决定对数学版块进行一些总结。对初学者而言可以很快了解目前论坛对这些问题的解决情况，而且可以找到一些相关的参考资料，尽量避免走弯路或者发一些重复性的帖子。对这些列举的问题有任何意见可以在楼下跟帖子，由于时间的关系只能做一点就发上来点。
第一期的主题是Hopf分岔问题（注：下面帖子中给出了问题的提出位置，提出者，比较有意义的回复等）


关于Hopf分岔
一、
4999
http://forum.vibunion.com/thread-14631-1-1.html
[ivy_1031]  最近在研究一个系统的hopf分岔，所以想对hopf分岔有一个较为详细的认识，很多书上都是只说了定义和hopf定理。现在很想只是hopf分岔都有那些类型，通常都是如何来分析研究的，都画那些图来看。还有hopf分岔图应该如何来画等等。
希望各位能给领领路，给我讲讲或者介绍一些合适的书籍
回复：

1、简单的说，静态hopf分叉是指一个稳定的平衡点变为不稳定的平衡点并生出一个极限环的分叉现象！可以分为亚临界hopf分叉，超临界hopf分叉等。动态hopf分叉是研究周期解的分叉现象，其中tb（torus bifurcation）环面分叉就是其中一种情况。
具体要画什么图，要看你关注的中心是什么，是画周期解的相图还是画参数域中的分叉图，一半主要是关注的这两个图。
具体看看nonliear dynamics and chaos和bifurcation之类的书，其上都有详细的介绍！

2、具体找一个实例分析哈.在这里推荐几本书关于此方面.
入门的书,DYNAMICS AND BIFURCATIONS作者是: JACK K.HALE HUSEYIN KOCAK
值得琢磨的书
Nonlinear Oscillations,Dynamical Systems,and Bifurcations of Vector Fieds

二、
http://forum.vibunion.com/thread-45981-1-1.html
[无水1324]    假如在平衡点x0处的导算子有四个特征值，有一对恒为虚数，另一个可能为共轭复数。问
1、一般看到的都是存在非双曲平衡点、满足分岔条件。然后分析其分岔行为：如求取分岔集、转迁集什么的。假如不满足Hopf分岔条件，该怎么样进一步分析系统的分岔行为。
2、存在Hopf分岔后，发现分岔参数在某一范围之内都满足Hopf分岔条件，那又该怎么用数值的方法去说明这点确实存在呢？


三、
以下是MATLAB程序,很简单.我就不写注释了
clc
clear

axis([-2 2 -2 2])
hold on
fai0=pi/12
fai2=pi*(2/3)
fai3=pi/3
fai4=pi
fai5=1.5*pi
fai6=pi*(4/3)
fai7=pi*(-1/6)
fai8=0.01*pi*(0.00002)

u=0.5
r=0.001
t=0.01:0.01:20
d=sqrt(r*r+(abs(u)-r*r)*exp(-2*u*t))
p=(sqrt(abs(u))*r)./d
x=p.*cos(t)
y=p.*sin(t)
plot(x,y,'k')
hold on


x=p.*cos(t+fai4)
y=p.*sin(t+fai4)
plot(x,y,'c')

u=0.5
r=2
d=sqrt(r*r+(abs(u)-r*r)*exp(-2*u*t))
p=(sqrt(abs(u))*r)./d
x=p.*cos(t)
y=p.*sin(t)
plot(x,y,'r')
hold on

%
x=p.*cos(t+fai5)
y=p.*sin(t+fai5)
plot(x,y,'m')

x=p.*cos(t+fai2)
y=p.*sin(t+fai2)
plot(x,y,'k')

x=p.*cos(t+fai6)
y=p.*sin(t+fai6)
plot(x,y,'g')

x=p.*cos(t+fai7)
y=p.*sin(t+fai7)
plot(x,y,'y')

x=p.*cos(t+fai4)
y=p.*sin(t+fai4)
plot(x,y)

x=p.*cos(t+fai3)
y=p.*sin(t+fai3)
plot(x,y,'m')

四、
http://forum.vibunion.com/thread-4999-1-1.html
[gghhjj]  [转帖]流形上向量场奇点的Poincare-Hopf定理及其初步应用

五、2005-11-8 14:09
http://forum.vibunion.com/thread-4999-1-1.html
[lstk]  [求助]请推荐一本关于Hopf分叉的书
刚接触分叉与混沌方面的内容，请推荐一本关于Hopf分叉的书。谢谢！

六、
最近看了一篇吴志强的文献《极限环高阶分岔控制》，但是我还是不明白其中的高阶分岔的意思，找了很多书，都没有看到，那为知道，给点意见，谢谢！

无水1324

占位编辑

无水1324

占位编辑

sdlmx

无水1324

对，那个程序是画一个分岔图欣赏的，是21172485写的程序，放在这里主要是欣赏．
如你有高见请不吝赐教！

sdlmx

分析一下，画出它的holf分岔图形，
我觉得这种例子应该很多吧，力学中的Van der pol方程，种群生态学中的一些系统等

无水1324

对，我把它提上来，使让初学者能够理解这个是怎么来的。具体的去画一个系统的可能都没有时间做。不知道你愿不愿做这方面的，然后以主题的形式发上来，让我们见识一下

sdlmx

很愿意去这件事情，不对之处请大家批评指正！

无水1324

好的
期待你的成果！

luyannan11

真是太谢谢了，分岔的程序编的头疼