疑惑：复模态是正交的么？？

iewoug

最近作的一些工作，发现复模并不是正交的，计算出来的是共轭正交，反复检查之下并没有错误，请教！贴出自己的部分程序，如下

%%%% 空间单层偏心主体结构，质量mp=3*10^5kg,kp1=kp2=kp3=1*10^5KN/m,kp4=3*10^5KN/m,平面尺寸x=8m，y=6m，回转半径
%%%% 为2.5m，主体结构为经典阻尼，阻尼比为0.05；在其上支撑一附属结构，附属结构质量为me=1*10^4kg,ke=2*10^4KN/m,附
%%%% 属结构阻尼比为0.02，所在位置为xs=3m，ys=2m。
%%%% 研究计算的部分：a，附属结构的频率，阻尼，位置对附属结构响应(相对支撑的位移和相对于地面的加速度)的影响。
%%%% 要求分别计算摄动之后的模态，频率传递函数，附属结构的响应均方值。
mp=3*10^5;kp1=1*10^5;kp2=1*10^5;kp3=1*10^5;kp4=3*10^5;xp=8;yp=6;rr=2.5;ceitap=0.05;
ms=1*10^4;ks=2*10^4;ceitas=0.02;xs=3;ys=2;
kp=kp1+kp2+kp3+kp4;kct=kp*25;ey=kp\(kp1*3+kp2*3+kp3*(-3)+kp4*(-3));ex=kp\(kp1*4+kp2*(-4)+kp3*(-4)+kp4*4);
%%%% 矩阵表达-主体结构，附属结构各自动态特性
Mp=[mp 0 0;0 mp 0;0 0 mp*rr^2];Kp=[kp 0 -kp*ey;0 kp kp*ex;-kp*ey kp*ex kct];
[Vp,Dp]=eig(Kp,Mp);
Dp=diag(Dp);
for i=1:3
    [DpL(i),j]=min(Dp);
    VGDp(:,i)=Vp(:,j);
    Dp(j)=max(Dp)+1;
end
wp=DpL;
Vp=VGDp;
a1=0.05*2/(sqrt(wp(1))+sqrt(wp(2)));a0=sqrt(wp(1))*sqrt(wp(2))*a1;
Cp=a0*Mp+a1*Kp;
Ms=[ms 0;0 ms];Ks=[ks 0;0 ks];
[Vs,Ds]=eig(Ks,Ms);
Ds=diag(Ds);
for i=1:2
    [DsL(i),j]=min(Ds);
    VGDs(:,i)=Vs(:,j);
    Ds(j)=max(Ds)+1;
end
ws=DsL;
Vs=VGDs;
cs=2*sqrt(ws(1))*ms*ceitas;
Cs=[cs 0;0 cs];
%%%% 复合结构体系的矩阵表达
M=[Mp zeros(3,2);zeros(2,3) Ms];
C=[Cp zeros(3,2);zeros(2,3) Cs]+[cs 0 -cs*ys -cs 0;0 cs cs*xs 0 -cs;-cs*ys cs*xs cs*(xs^2+ys^2) cs*ys -cs*xs;-cs 0 cs*ys 0 0;0 -cs -cs*xs 0 0];
K=[Kp zeros(3,2);zeros(2,3) Ks]+[ks 0 -ks*ys -ks 0;0 ks ks*xs 0 -ks;-ks*ys ks*xs ks*(xs^2+ys^2) ks*ys -ks*xs;-ks 0 ks*ys 0 0;0 -ks -ks*xs 0 0];
%%%% 复合系统的综合模态
%%%% 复合系统的随机振动频率相应函数计算
AA=[C M;M zeros(5,5)];
BB=[K zeros(5,5);zeros(5,5) -M];
[Vfh1,wtx1]=eig(-BB,AA);

pengweicai

不是 所有的复模态都正交，只是满足一定条件 才正交。

   共轭正交？？

iewoug

首先谢谢楼上的兄弟，那满足什么条件才是正交的呢？
我看书上的推导都是正交的啊，并没有什么条件限制。
复模态不是共轭成对的么，我说的共轭正交，是说共轭的那对模态正交，关于状态方程矩阵A和B阵。
困扰很久，课题都无法进展

VibrationMaster

请参考：陈奎孚, 焦群英关于复模态参数的冗余性.应用数学和力学.2004,25(12):1292~1298

iewoug

不是复模态的基本知识的问题
是你随便取个状态方程求求复模态看看，QA分析可以用matlab的eig来解，并不是正交的，共轭的一对特征向量正交
求正解

iewoug

别老说复模态是正交的，实际求解一个模态矩阵看看，我求的不正交，不知道是什么原因。程序在上面给出了，求人能帮忙看看
简单的说关键程序i就是复模态可不可以这样求解：(A,B为状态方程的系数矩阵)
[V,D]=eig(A,-B);

欧阳中华

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   结构复特征值主要是包含了振动频率与衰减的特征，而复特征向量，与实特征向量的差别是，无阻尼系统对应的实特征向量就是以模态频率振动时，系统各个自由度振动幅值的相对比值，各个自由度振动的相位是相同的，此时存在振型向量的正交性；而复模态是，模态里不仅仅包含振动系统各个自由度振动幅值信息，而且还有各个自由度振动的相位信息，对于这样一种幅值与相位复合量，还存在正交吗？也许还有其他理解.. ..

drbethune

复模态也有正交性的

玉林

复模态是有加权双正交性。问题在于matlab的eig函数求解特征值的时候，原系统与伴随系统的特征值不是一一对应的，因此，直接使用求解出来的特征值与特征向量来验证正交性是不可行的。须要首先向办法将特征值对应。