振动力学发展历史概述

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陈立群　刘延柱
(上海交通大学工程力学系)

振动力学是力学的一个重要组成部分,但关于其历史发展尚无全面的论述,相关内容散见于科技史[1]、力学史[2]、数学史[3]、声学史[4]、材料强度史[5]以及一些专题性研究[6,7].本文拟对振动力学的发展历史作简要而不失全面的概述,希望通过对历史发展的回顾与分析,揭示振动力学的学科特点和发展规律,进而对振动力学的研究和教学有所启发和助益.振动力学内容丰富,这里对于振动问题的早期研究[7,8]简略带过,也不涉及振动力学的最新进展.

1　振动力学的萌芽——振动现象及物理基础

人类对振动现象的认识有悠久的历史.早在公元前6世纪,Pythagoras发现了较短的弦发出较高的音,将弦长缩短一半可发出高一音阶的音符;战国时期的古人已定量地总结出弦线发音与长度的关系,将基音弦长分为三等份,减去或增加一份可确定相隔五度音程的各个音.公元前6世纪成书的《旧约·约书亚记》记载共振现象,城墙在齐声呐喊中塌陷;成书于战国时期的《庄子·徐无鬼》更明确记载了共振现象“鼓宫宫动,鼓角角动,音律同矣”;成书于公元2～5世纪的《犹太法典》第二章也描述一种共振现象,“公鸡把头伸进空的玻璃容器内啼鸣致使容器破碎”.
在振动力学研究兴起之前,有两个典型的振动问题引起注意,即弦线振动和单摆摆动.1636年Mersenne在关于弦的乐音著作中报告了弦振动的实验研究,测定了长弦振动频率,以此推断出密度和张力相同且发出谐音的短弦频率;1638年Galileo在其名著《两门新科学的对话》中明确弦线振动频率与其长度、密度和张力的关系;17世纪末Sauveur完成了大量实验工作,测定弦线振动频率并注意到节点的存在,及有节点时弦线振动频率为基频的整数倍.对单摆摆动的研究起源于Galileo,他在1581年发现摆的等时性,在1638年的著作中用落体公式推得摆动周期正比于摆长与重力加速度比的平方根,但没得到正确的比例系数.他还从运动量守恒的角度讨论摆的振动.1673年Huygens把摆动视为圆周运动的一部分,利用几何方法得到单摆振动周期的正确公式,提出摆动中心的概念,从而将形状复杂的摆简化为单摆.1687年Newton考察了单摆在有阻尼介质中的运动.从现代观点考虑,弦线振动是无穷多自由度连续系统的振动,单摆摆动是单自由度离散系统的振动,振幅不大时都可认为是线性的.单摆振动比较简单,对后来线性振动的发展影响不大,弦线振动则成为18世纪振动力学研究的中心问题之一.
振动力学的物理基础在17世纪已经奠定.1678年Hooke提出弹性定律,建立了弹性体变形与恢复力间的线性关系,引入了振动系统的基本组成部分——弹簧.1678年Newton在其划时代的《自然哲学之数学原理》中建立了运动变化与受力间的关系,使振动问题的动力学研究成为可能,他也定义了振动系统的另一基本组成部分——质量,假设了介质阻力与速度及速度平方成正比,形成阻尼概念的雏形.

2　线性振动理论——数学工具的引入

17世纪的研究者奠定了处理振动问题的物理基础并提供了数学工具;到了18世纪,振动力学已从物理学中独立出来.最主要的成就为线性振动理论的形成,它是与数学中的常微分方程和偏微分方程同步发展的,这一时期对振动力学作出了贡献的研究者几乎都是数学家.
离散系统振动理论在18世纪中叶基本成熟.1727年JohnBernoulli研究无重量弹性弦上等距分布等质量质点时,建立无阻尼自由振动系统模型并解出解析解.1728年Euler考察了摆在有阻尼介质中的运动建立并求解了相应的二阶常微分方程;1739年他研究了无阻尼简谐受迫振动,从理论上解释了共振现象;1747年他在研究空气中声传播时也建立了等刚度弹簧联结等质量质点的模型,Euler不仅列出运动微分方程并求出精确解,而且发现系统的振动是各简谐振动振型的叠加,特定振型的出现取决于初始条件.1762年Lagrange建立了离散系统振动的一般理论,但对频率方程有等根情形的结论有错误,直到近一个世纪后才分别由Weierstrass于1858年、Сомов于1859年和Routh于1877年更正.此后离散系统振动理论仍有若干重要工作,1852Sylvester证明了频率方程仅有实根;1872年Jordan给出振型坐标一种新的简洁推导;1873年Rayleigh发现了振动系统固有频率随质量变化的规律并引入耗散函数描述阻尼特性.
弦线振动理论在18世纪建立.1746年D′Alembert在研究均匀弦线振动时,同时考虑弦线位移随时间和弦上位置的变化导出描述弦线振动的波动方程并求出行波解.1748年Euler沿用D′Alembert的方法处理了非光滑初始条件.1753年Daniel Bernoulli用无穷多个振动模态的叠加得到弦线振动的驻波解,但其数字处理不够严格.1759年Lagrange从驻波解出发推导出行波解,从而在物理上充分理解了均匀弦线的振动规律,更有效的数学工具直到1811年Fourier提出函数的三角级数展开才问世.1762年Euler和1763年D′Alembert分别研究了非均匀弦线和重弦线的振动.
其他连续体的振动问题也相继提出.1744年Euler研究了梁的横向振动,导出了自由、铰支和固定三类边界条件下的振形函数与频率方程,1751年Daniel Bernoulli也研究了类似问题,但他们都忽略截面转动和剪切变形的影响,直到1894年和1916年才分别由Rayleigh和Timoshenko加以补充修正.1759年Euler将膜视为两组互相正交的弦而解决了矩形膜的振动问题,但处理圆形膜的尝试未能成功,直到1829年Poisson才完全解决了膜振动问题.1789年Jakob Bernoulli将板视为两组互相正交的梁导出其运动微分方程,1787年Chladni对玻璃和金属板振动波节线的实验极大地促进了板和壳振动的研究,1811年Germain不甚严格地作出对实验的理论解释,Poisson于1814年和Kirchhoff于1850年得到了改进的结果,1828年Navier建立板弯曲振动的严格理论并研究了三维弹性体的振动.三维弹性体振动理论由Poisson于1829年和Clebsch于1862年分别建立,作为特例,Poisson解决了弹性体的扭转振动问题(对扭振的研究更早于1784年由Coulomb进行).此外,1876年Pochhammer研究了考虑横向变形的圆柱纵向振动,1891年Lamb研究了圆柱形壳和球壳的伸长性振动.
对于受外激励响应的研究也逐步成熟.1807年Young提出了载荷的动力效应.1829年Poncelet研究了杆在冲击作用下的轴向振动,并发现脉冲力能引起杆的共振,可用以说明一队士兵用整齐步伐通过悬索桥的危险性.1834年Duhamel将任意外激励视为一系列冲量激励的叠加,从而建立了分析强迫振动的普遍公式.1849年Stokes发现了初位移激励与初速度激励两者响应的联系,并且由此对外激励得到与Duhamel相同的结果.1883年Saint-Venant研究杆件振动时也有类似的结果.一般弹性体受迫振动的数学理论在1894年由Poincaré基本建立,1906年Hilbert和Picard分别借助积分方程完成.
振动力学的经典线性理论比较集中地汇集在两部力学名著之中,其一是Rayleigh的《声的理论》(1887,1894),其二是Love的《论弹性的数学理论》(1892,1906,1920,1927).

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3　振动问题的近似解法——工程应用的要求

19世纪之前的振动力学属于自然科学甚至数学科学,到19世纪后期则兼有技术科学的属性.工程对振动力学的需求有其自身的发展逻辑.随着工业革命的发展,工程界面临与航海运输和动力机械有关的复杂系统振动问题.如多缸往复式蒸气机的发明要求解决动平衡问题.1892年Yarrow研究了蒸气机的动平衡和船舶振动问题,1896年Крылов建立了船舶在波浪中振动的一般理论,1897年Macalpine讨论了船舶的消振,1904年Schlick发明了利用陀螺原理的船舶消振器.另一类与航海有关的振动问题是螺旋桨轴的受扭振动.1901年Frith和Lamb建立了二和三质量系统扭振的基本理论,1902年Frahm进行了实验研究并着重考虑了共振问题.蒸气汽轮机的发展使转速达到每分钟数千转,转子振动问题显得十分突出.早在1869年Rankine就已研究了轴的转动,1883年Dunkerly和Peynolds研究了转轴的弓形?旋和振动,1880年DeLaval进行了转速高达30kr/min的汽轮机转子试验,1895年Fo¨ppl进行了带圆盘轴高速旋转的理论和实验研究,1916年Stodola和1919年Jeffcott也独立地得到类似结果,1918年Stodola研究了陀螺效应对临界转速的影响.
工程问题的需要促进了各种近似方法的发展.1894年Dunkerley给出估算多圆盘轴横向振动基频的简单实用方法,即Dunkerley法.1898年Vianell在计算压杆的屈曲载荷时提出逐步近似方法,1904年Stodola将该方法推广用于计算轴杆的主频率,发展为振型迭代法.1902年Frahm研究轴扭振的方法相继被Holzer于1907年、Guember于1912年和Tolle于1921年改进为表格化形式.类似思路分别被Dungen于1928年和Hohenemser于1933年应用于集中质量梁,1933年被Hohenemser和Prager应用于离散化的连续梁.该方法因1944年Myklestad和1945年Prohl的工作而称为Myklestad-Prohl方法.1950年Thomson用矩阵重新表述该方法而形成传递矩阵法.
相对独立发展的关于近似解法的理论结果也应用于工程问题.1873年Rayleigh基于动能和势能的分析给出了确定系统基频的近似方法,即Rayleigh法.他还分别于1899年和1911年用这种方法计算复杂物系的基频.1909年Ritz推广了Rayleigh法使之可同时求几个低阶固有频率,他的工作被Галеркин于1915年进一步推广.1914年Stodola用Rayleigh法确定汽轮机叶片振动基频,1925年Oehler用Ritz法研究汽轮机叶片振动,得到与实验相符的结果.1943年Courant基于最小势能原理,采用三角形单元组成分区近似函数讨论柱体扭转.1956年Turner等把处理杆件结构的方法用于连续体力学问题,形成有限元法,60年代以来广泛应用于振动问题,成为处理工程结构振动问题的重要近似方法.

4　非线性振动——多学科的交叉

人类对非线性振动现象的观察可以追溯到1673年Huygens对摆的研究.他注意到两类非线性现象:摆的大幅振动不具有等时性,以及轻微不同步摆钟存在频率拖带.1749年Euler研究的压杆失稳涉及平衡点的分岔,也是非线性系统的典型特征.除Helmholtz和Rayleigh对频率拖带的研究外,对非线性振动的系统研究是在19世纪后期为解决天体力学问题而开始的,到本世纪20年代又受无线电技术的刺激,在定性理论和解析解法方面都有大量成果.到70年代后期,与工程应用日渐普及的同时,非线性振动理论发展成为以混沌问题为核心的非线性动力学,成为新的交叉科学即非线性科学的重要组成部分.
通常认为线性振动系统的参数均为常值.由于参数周期变化而激起的振动即参数振动虽为线性振动,但在研究方法上更接近非线性振动.1831年Faraday首先观察到参数振动现象,充液容器铅垂振动时液体自由表面波动的周期为容器振动周期的两倍.1859年Melde和1883年Rayleigh分别进行了实验研究.1868年Mathieu在研究椭圆薄膜振动时涉及以余弦函数为系数的常微分方程.1877年以偶周期函数为系数的方程出现在Hill对月球运动的研究中,他用幂级数展开方法证明了月球近地点运动的周期性.1883年Floquet建立了系数为同周期函数的高阶线性微分方程周期解的存在性及其他性质的完整理论.1885年Poincaré证明了Hill所用展开方法的收敛性.
在Hill工作的影响下,Poincaré为非线性问题的研究开辟了一个全新的方向——定性理论.在1881～1886年的一系列论文中,Poincaré讨论了二阶系统奇点的分类,提出了极限环的概念,定义了奇点和极限环的指数;1885年他研究了分岔问题.1901年Bendixson提出了极限环不存在的判据并改进了Poincaré关于极限环存在判据.1912年及随后几年,Birkhoff对动力系统一般理论作了大量奠基性工作,动力系统的一般数学定义则是由Марков于1931年和Whitney于1932年分别提出的.1948年Hopf探讨了由定态变为周期运动的机制,汇失稳变成源并产生极限环,即Hopf分岔.Poincaré开创的这个方向已发展成为微分方程定性理论、分岔理论、拓扑动力学、微分动力学等数学分支.
振动系统定性理论的一个特殊而重要的方面是稳定性理论.关于平衡位置的稳定性的研究开始很早.1644年Torricelli发现系统重心处于最低位置时的平衡是稳定的;1788年Lagrange指出,保守系统势能在某个平衡位置有孤立极小值则该平衡位置稳定,这个结论以后被Dirichlet严格证明.1879年Kelvin和Tait研究了陀螺力和耗散力对平衡点稳定性的影响,其结果由Четаев用Ляпунов直接法给予严格证明而称为Kelvin-Tait-Четаев定理.除平衡稳定性外,Maxwell分析过蒸汽机调速器和钟表机构的稳定性,1887年Routh给出循环运动稳定性的判别法.1892年Ляпунов奠定了稳定性理论的基础,他给出了稳定性的数学定义,提出了处理稳定性问题的两种方法.第一种方法需要求出扰动运动解,第二种方法完全是定性的,可直接根据系统运动微分方程判断,故又称为直接法.1834年Четаев给出了不稳定性的判别方法.由于Ляпунов的工作,按一次近似判断稳定性才具有严格的理论依据,而线性系统已分别由Routh于1875年基于Cauchy的工作和Hurwitz于1895年基于Hermite的工作得到等价的稳定性判据.目前运动稳定性则已成为一般力学的组成部分.稳定性理论也是自动控制和系统工程的理论基础.
非线性振动的另一重要方面是近似解析方法的研究.1830年Poisson在研究摆振动时提出了摄动法的基本思想,他将解展为小参数的幂级数,但长期项的存在会使该方法失效.1883年Lindstedt把振动频率也按小参数展开,解决了长期项问题,1890年Poincaré证明了Lindstedt的解是渐近的.1918年Duffing在研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡法和逐次迭代法.1920年vanderPol提出了慢变系数法的基本思想,1934年Крылов和Боголюбов将其发展为适用于一般弱非线性系统的平均法,1947年又发展为可求任意阶近似的渐近法.Боголюбов和Митропольскиǔ对此方法进行扩充和证明,并在1955年由Митропольскиǔ推广到非定常振动,形成KBM法.1957年Sturrock在研究电等离子体非线性效应时,用多个不同时间尺度描述振动而提出多尺度法,1963年Cole和Kevorkian给出另一种形式的多尺度法,Nayfeh在发展和应用多尺度法方面做了大量工作.非线性振动近似解析方法的发展已不限于振动力学的范围,而成为应用数学的一分支,其结果广泛应用于诸多物理和力学分支.
非线性振动的研究使得人们对振动机制有了新的认识.除自由振动、受迫振动和参数振动以外,还有一类广泛存在的振动,即自激振动.1925年Cartan父子研究了无线电技术中出现的一类二阶非线性微分方程的周期解.1926年vanderPol建立一类描述三极电子管振荡的方程,称为vanderPol方程,他用图解法证明孤立闭轨线的存在,又用慢变系数法得到闭轨线的近似方程.1928年Lienard证明以Cartan方程和vanderPol方程为特例的一类方程存在闭轨线,1929年Андронов阐明了vanderPol的自激振动对应于Poincaré研究过的极限环.自激振动也在其他工程系统中出现,例如,1932年DenHar-tog用自激振动解释输电线的舞动,1933年Baker的工作表明干摩擦会诱发自激振动.
非线性振动的研究也促使人们认识一种新的运动形式,即混沌振动.1945年Cartwright和Little-wood对受迫vanderPol振子及Levinson对一类更简化的模型分析表明,存在一类奇异的解,两个不同稳态解可有任意长时间相同的瞬态过程,这表明运动具有不可预测性.60年代上田和林千博等在寻找Duffing方程谐波解时,得到一种混乱貌似随机且对初值非常敏感的解,但他们的工作直到1973年才发表.混沌的研究历史详见文献[8].

5　随机振动——科学与技术的相互促进

随机振动的发展典型地反映了现代技术对科学的促进.航空和航天技术的需要促使人们用概率统计方法研究承受非确定性载荷的系统的响应、稳定性和可靠性等,从而将当时已有的随机过程、统计力学、湍流理论等综合应用于工程问题,形成随机振动这一振动力学的重要组成部分.
随机振动的物理数学基础早在30年代已基本奠定.1827年Brown对悬浮在水中微小花粉粒子杂乱运动的观察,为最早的系统对随机激励响应的实验研究.19世纪后期Maxwell和Boltzmann用统计方法描述系统可能状态和达到的概率,但没有考虑统计随时间的演化.1919年Rayleigh用“随机振动”一词描述一等价于平面随机行走的声学问题.用随机方法研究动力学行为始于1905年,Einstein从理论上解释了Brown运动,1915年Smoluchowski扩展了Einstein的结果并进行实验研究.1908年Langevin导出一含有随机项的微分方程,成为随机微分方程的第一个例子,Fokker于1915年、Plank于1917年、Колмогоров于1931年、伊藤于1946年都对随机微分方程的研究作出贡献.1933年Андронов等应用随机微分方程讨论随机扰动下一般动力系统的运动.1920年Taylor引入相关函数概念,Wiener于1930年和Хинчин于1934年分别建立了谱的理论,这些数学工具首先应用于通讯和控制系统而不是结构和机械的强度分析,因为工程技术尚无此要求.
随机振动的研究始于50年代中期.由于喷气和火箭技术的发展在航空和航天工程中提出一系列问题,如大气湍流引起的飞机颤振,喷气噪音导致的飞行器表面结构声疲劳,传动系统中滚动件不光滑而啮合不完善的损伤积累,火箭推进中运载工具有效负载可靠性等,都促使研究者运用已有数学工具,并借鉴这些工具在通讯等学科中的应用以解决面临的工程问题.Miles于1954年和Powell于1955年分别研究了飞行器结构颤振损伤积累的时间无规和空间涨落.1955年Morrow和Muchmore把谱分析引进随机振动并建立了结构随机响应等基本概念.1957年Erigen研究了连续体的随机振动并讨论振型相关性.1958年Crandall主编《随机振动》的出版标志着随机振动这一振动力学分支的诞生.
60年代以来,随机振动在应用和理论方面都发展迅速.振动测试技术是随机振动应用的前提.在70年代之前基本采用模拟式仪器.由于计算机技术的迅速发展及1965年Cooley和Tukky发明快速Fourier变换算法,70年代以来数字式测试设备广泛采用.在此基础上系统的识别与诊断及随机振动实验技术有很大发展,应用范围也愈来愈广泛,由飞机和火箭扩展到汽车、船舶及高层建筑、海洋工程结构等.在理论研究中,非线性随机振动备受重视.1959年Caughey研究提出随机等效线性化方法,而该方法在1954年便被Booton应用于控制系统.1961年Crandall建立随机摄动法.1966年以后,Stratonovich,Khasminskii,Papanicolaou与Kohler等发展了随机平均法.

6　结　语

振动力学在其发展过程中逐渐由基础科学转化为基础科学与技术科学的结合.工程问题的需要使振动力学的发展成为必需,而测试和计算技术的进步又为振动力学的发展和应用提供了可能性.除与技术问题的结合以外,学科的交叉不断为振动力学的发展注入新的活力.在数百年发展过程中,振动力学已形成为以物理概念为基础,以数学理论、计算方法和测试技术为工具,以解决工程中振动问题为主要目标的力学分支.

参考文献

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