第一个数学力学问题：倍立方体

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公元前3世纪希腊天文学家、数学家、地理学之父埃拉托色尼 (Eratosthenes ofCyrene. c. 276 BC–c. 195/194 BC) 在Platonicus中记录了希腊提洛斯岛（Delos，传说是太阳神阿波罗的出生地）发生了一次瘟疫，当居民向阿波罗祈祷时，神谕说：“他们需要把正方体的祭坛加到两倍，瘟疫才能停止”。

图1 埃拉托色尼 wiki百科

现在我们知道，正方体体积翻倍其边长需要变为原长的（2开3次方）倍，但是，当时人们还不会开立方，该问题被限定在尺规作图法内完成。这可难坏了当时的工匠们，有人尝试把祭坛的边长变成原来的2倍，此时体积将是原来的8倍；如果再做一个等大的正方体虽可以体积翻倍，却不能得到正方体。这个问题太难了，当提洛斯岛的居民去请教当时的最著名的柏拉图，柏拉图也一筹莫展，只好说：神并不是让大家真正做一个两倍的祭坛，只是因为希腊人过于忽视数学和几何的作用，以此神要大家重视数学和几何。

对于倍立方体迈出第一步的是古希腊数学家希波克拉底 (Hippocrates of Chios, c. 470–c. 410 BCE.)，注意他不是提出希波克拉底宣言（医生都要宣誓遵守的职业道德）的医学家希波克拉底 (Hippocrates of Kos, c. 460–c. 370 BC)，数学家希波克拉底比医学家希波克拉底大了约10岁。数学家希波克拉底将倍立方体问题做了一点变动，将问题转化为寻找两条线段长度的两个比例中项（当a:x=x:b，则x就是a和b的比例中项），他这样提问：

图2 希波克拉底

假设a、b代表两条线段的长度，当x、y是a、b的两个比例中项时，即a:x=x:y=y:b；观察这个连比：其一，三个比相乘 (a:x)(x:y)(y:b)=a:b；其二， (x:y) 和 (y:b) 均等于 (a:x)，三个比相乘又可以等于 (a:x)3=a3:x3。这两步说明，a3: x3=a:b。可见，当a:b=1:2时，x=（2开3次方）a，也就是说当a为原立方体边长时，x就是新立方体的边长。

此后，希波克拉底就努力用尺规作图法去寻找a、b之间的两个比例中项。当时人们已知求解两数的一个比例中项的方法，例如以AC为直径的半圆ABC，则可知∠ABC为直角，过B点作AC的垂线BH，则△ABH相似于△BCH三角形，因此有AH:BH=BH:HC，因此，BH就是AH和HC的比例中项，这在后来被称为射影定理。

图3

找一个比例中项相对容易，但要找到两个比例中项解决倍立方体就不那么容易了。希波克拉底最后也没有解决该问题。虽然希波克拉底没能找到他设定的两个比例中项，但后来致力于解决倍立方体的数学家都沿用了希波克拉底寻找两个比例中项的思路。他还部分解决了化圆为方问题（古希腊三大数学难题：化圆为方、倍立方体、三等分角），并第一次系统的撰写了几何学 (Element)，他之后至少有4位数学家撰写几何学 (Element)，欧几里得的《几何原本》(Element) 是建立在这些前人研究基础之上的。

最终解决倍立方体问题的是被誉为数学力学家的阿契塔，而且他在空间作图，是所有解（与后来解决该问题的解相比）中最为独特的一种。为了便于说明，我们借用一些现代我们熟悉的工具，例如坐标系，因为当时还没有坐标系。考虑图4所示坐标系A-xyz，在xAy平面内作一个直径为AD的圆，做弦AB，这里AB=a，AD=b。目标是寻找a、b之间的两个比例中项。过D点做圆ABD的切线与AB的延长线交于P。然后，转到A-xyz空间中，考虑以下几个步骤：

图4 底面

1.以半圆ABD为底，沿着Az轴拉伸，生成半圆柱体的表面。参见图5。

2.将△APD绕AD轴旋转，形成网锥面，P到达P'点，B到达M点。参见图5。这里需要发挥一下想象，第1步中的半圆柱面与第2步产生的圆锥面应该有一条交线，为了便于说明，称之为交线 L。

3.再想象一个以AD为直径、且垂直于xy平面的半圆，绕Az轴旋转，旋转到什么位置是本问题的关键。要保证半圆弧AKD'与前两步产生的交线L相交，这是空间曲线的相交问题，它们的交点即为K点。参见图5。

4.AD'交底圆于I，连接KL，则有KI垂直于底面，也就垂直于AD'。再过M作底面的垂线交AD' 于T；再连接MI。这样，就可以把问题转到Rt△AKD'中去讨论。

5.找出相似三角形，有Rt△AMI相似于Rt△AIK , 又相似于Rt△AKD'中，可以得到 AM:AI=AI:AK=AK:AD'。又由于AM=AB，AD' =AD，因此AI和AK就是线段AB(a)和AD(b) 之间的两个比例中项。参见图6。

图5 阿契塔的立体作图（注y轴没有画出，坐标系满足右手坐标系统）

图6 直角三角形中找两个比例中项

这个问题的解决，不只是倍立方体，实际上任意倍的立方体都可以求，只需要设定a:b的值，也就是图5中AB与AD的比值。它的意义又不局限于规则几何体，对于非规则的几何体也可以求任意倍体积，只需要求特征边长需要扩大或者缩小的倍数即可。这一方法在工业制造中非常有用，在阿契塔的时代，在机械制造和建筑设计中，人们很可能是制作出模型然后再建造大的实物以弥补设计手段的不足，如果理解了几何体边长与体积之间的尺寸关系，就可以方便的从模型尺寸推导出任意体积大小的实物尺寸。这样，倍立方体在建筑设计或机械设计中的重要意义是显而易见的。后世力学家帕普斯 (Pappus of Alexandria.c. 290 – c. 350 AD) 将倍立方体的解视为实用力学最为重要几何理论之一，这很可能是第一个直接为实用力学服务的数学原理 (Huffman, Carl, "Archytas")。阿契塔也以此被享有西方司马迁美誉的罗马传记文学家普鲁塔克 (Plutarch, 46-120A.D.) 称为数学力学的奠基人。

倍立方体本身魅力无穷，它不仅奠定了数学力学，同时还开创了立体几何，后世对倍立方体的进一步研究还导致了圆锥曲线理论的诞生。古希腊数学家Eutocius of Ascalon(c. 480-c. 540) 搜集了倍立方体问题的11种求解方法。毫无疑问，阿契塔的求解方法在空间构造比例中项，开创了立体几何；他的学生欧多克索斯 (Eudoxus of Cnidus, 408BC-355 BC) 将阿契塔的空间结构投影到平面得到了平面上的解；欧多克斯的学生门奈赫莫斯 (Menaechmus, 380–320 BC) 继续研究倍立方体，又开创了圆锥曲线的研究。门奈赫莫斯注意到希波克拉底的连比a:x=x:y=y:b，前一个等号可导出

后一个等号可导出

这两个方程表示抛物线。第1个比等于第3个比导出

这是双曲线。选择以上三式中任意两个，连列方程，求出x就解决了倍立方体问题。我们也借用一下我们现在已有的方法去理解门奈赫莫斯的方法。将以上三式所表示的曲线绘制在同一个坐标系中，如图7所示（当然门奈赫莫斯也没有用到坐标系）。

图7

以上三式两两求解，可得三条曲线相交于同一点P，则P点的横坐标x（图中ON的长）就是我们要求的解。过P点作PN⊥Ox于N，作PM⊥Oy于M。连接MN，过M作MB⊥MN交x轴于B点，过N作NA⊥MN交y轴于A点。现在擦除圆锥曲线，只留下辅助线，如图8。

图8

依据相似三角形有：OA:ON=ON:OM；又有OA:ON=OM:OB。因此可以得到：OA:ON=ON:OM=OM:OB，假设OA=a，OB=b时，ON就是想要的解。门奈赫莫斯的解法给了希腊人利用机械求解倍立方体的思路，只需要制作两把直角尺和一个十字架（画出两条相交的线也可以），如图9所示。设定OA=a，OB=b，两直尺如图9放置，保证两个直角尺的一边分别通过B、A两点，移动直角尺使得另两边重合且两直角落在两十字相交的线上，此时ON就是所求的解。

图9

显然，虽然倍立方体问题的提法是希望将体积翻2倍，但该问题的解决实际上可以求解任意倍的体积问题，只需要将a:b的倍数做相应的设定即可。令人惊叹的是，从希波克拉底到阿契塔，再到欧多克索斯、门奈赫莫斯，几代人的努力在解决同一个“古老”的问题，并且由此诞生出来立体几何、圆锥曲线，以及求解几何问题的机械方法等分支，这对于我们至少有两点启示：一是我们总习惯于寻找标准答案，假如一个问题的解答被标准化了，可能就不会诞生新的学科了；其次，我们也会听到人们对于某些科研评价时说：“这些问题早已被人研究过了，没什么研究价值了”，联想着倍立方体，我们可能真的要问：“这些问题真的没有研究价值了吗？”

参考资料：
http://www-history.mcs.st-and.ac ... bling_the_cube.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Hippocrates_of_Chios

Huffman,Carl, "Archytas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward N.Zalta (ed.)

https://en.wikipedia.org/wiki/Archytas

杜瑞芝, 王青建, 孙宏安. 简明数学史辞典[M]. 山东教育出版社, 1991.

[美]卡尔.B.博耶（著）.秦传安(译).数学史.中央编译出版社. 2012

百度文库. 倍立方体的历史解法

来源：张伟伟科学网博客，作者：张伟伟。