漫谈关于傅立叶变换

Theodore

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶(法语：Jean Baptiste Joseph Fourier,1768年3月21日－1830年5月16日），法国数学家、物理学家，提出傅立叶级数，并将其应用于热传导理论上，傅立叶变换也以他命名。

傅立叶于1768年3月21日在法国约讷省欧塞尔出生。由于很早的时候他的父母就双亡，所以小时候便在天主教本笃会受的教育。毕业后在军队中教授数学，在1795年他到巴黎高等师范教书，之后又在巴黎综合理工学院占一教席。1798年他跟随拿破仑东征，被任命为下埃及的总督。由于英国舰队对法国人进行了封锁，所以他受命在当地生产军火为远征部队提供军火。这个时期，他向开罗埃及学院递交了几篇有关数学的论文。1801年，拿破仑的远征军队远征失败后，他便被任命为伊泽尔省长官。1816年他回到巴黎，六年后他当选了科学院的秘书，并发表了《热的分析理论》一文，此文建立是在牛顿的热传导理论的速率和温度差成正比的基础上。1830年5月16日他病逝于巴黎，1831年他的遗稿被整理出版成书。

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

从现代数学的眼光来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：

1. 傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；

2. 傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；

3. 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时，变复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

4. 离散形式的傅立叶变换的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以简化复杂的变换，可以利用数字计算机快速的算出结果(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质，傅立叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域内的定位性是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或分辨能力)，也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频域信息。

当一个函数用δ函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何定位性（或分辨率)，也即δ函数分析所反应的只是信号在全部频率上的整体时间特征,而不能提供任何频率所对应的时间特征。

对于一些常见的非平稳的信号，如结构振动信号、地震波、探地信号等等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号，分析时通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。

短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，简称STFT，又称为加窗傅里叶变换），但由STFT的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而且保持不变，只适用分析所有特征尺度大致相同的过程，对于分析时变信号是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长。因此，人们期望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号则采用大时间窗进行分析。在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同STFT的固定时窗（窗不随频率发生变化）的特性是矛盾的，这表明STFT在处理这一类问题时已无能为力了。此外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散化，以节约计算时间及存储量。但Gabor基无论如何离散，都不能构成一组正交基，因而给数值计算带来了不便。这些Gabor变换的不足之处，恰恰是小波变换的特长所在。小波变换不仅继承和发展了STFT的局部化的思想，而且克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交的缺点，是一种比较理想的进行信号处理的数学工具。

另外还需要说明以下几点：

1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：

若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的，同时也表明一股图像能量集中低频区域。

2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮；平移之后中间部分是低频，最亮。亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。