球坐标系下的弹性力学问题

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球坐标也被称为“空间极坐标”。在（平面）极坐标系内，一点的位置有两个坐标变量 (ρ,φ)，φ 表示称为极角，用来确定一点的方位角；ρ 为极径，表示该点离开坐标原点的距离来确定点的位置。球坐标与此十分类似，只是表达方位时多了一个坐标变量，如一点的坐标表示为 (r,θ,φ)，其中θ、φ 表达一点在空间的方位，θ 为天顶角，表示该点与原点的连线（径向连线）与z 轴的夹角，如图1(a)所示，φ 表示径向连线在xoy 平面内的投影与x 轴的夹角，称为方位角，r 相当于坐标中的ρ，仍然表示该点在离开坐标原点的距离（径向距离）。

需要特别注意的是，不同的文献采用球坐标时，θ、φ 的意义可能并不完全相同，在图1(a)所示的球坐标之外还有图1(b)所示的球坐标，它们的θ、φ 意义正好相反，但描述一点的坐标都是(r,θ,φ)，这是需要特别注意天顶角和方位角的选取。

图1 球坐标的两个表达

在徐芝纶《弹性力学》（第5版）中，球坐标用于处理球对称问题，由于对称性，θ 方向和φ 等价，两个方向的应力、应变都用σT、εT 表示，回避了采用哪类极坐标的问题。吴家龙《弹性力学》中清晰地给出了图1(a)所示的球坐标系，一般情况下，在物理、力学中，图1(a)所示的球坐标使用的广泛一些，在数学类的教材中，使用图1(b)球坐标的情形多一些。因此，在力学中默认选用的图1(a)所示的坐标系。

在工程中，有许多球对称问题，例如图2(a)所示球形储气罐，以及图2(b)所示的球形爆炸容器（防爆球），这类结构通常在高压条件下工作，为了确保使用安全性，求解球形容器在工作条件下的应力、应变就显得异常重要。由于研究对象为球形，在几何形体上满足球对称，即过球心的任意平面都是该几何形体的对称平面，这也被视为关于球心（点）对称，球体绕球心在空间任意旋转后，仍与初始状态重合。

当满足球对称的几何结构，约束和载荷也为球对称时，这类弹性力学问题被称为球对称弹性力学问题，其应力、应变和形变位移也是球对称的，十分适合采用球坐标，同时边界和边界条件采用球坐标来描述也可以得到极大的简化。以下我们分别来推导球对称弹性力学问题的基本方程和边界条件。

图2 球形容器

在不考虑刚体位移时，球面上任意一点的位移只能有径向（r 向）位移uρ，而没有切向（θ 和φ 向）位移，即uφ≡uθ≡0，同时由于θ、φ 方向位移等价，也将它们统一记为uT≡0。可见，球对称问题只需要考虑一个位移分量ur。

现在来考虑应变分量，设在球体上任取一点P，并以该点为基准，分别沿r、θ、φ方向做增量dr、ρdθ (∠POB=dθ)、ρdφ (∠POC=dφ)，如图3所示。

图3 球面上P-ABC构型

为了更清晰的分析构型P-ABC的变形，分别画出该构型分别在rθ、rφ、θφ 三坐标平面内的投影，如图4所示。

图4 构型P-ABC在三个坐标平面上的投影

首先，以图4(a)所示视角观察，当P、A、B三点只有r 向位移时，设P点位移为ur，利用泰勒级数展开，保留一阶导数得A 点位移为ur+(əur/ər)dr，写出r 方向的应变为

因P点和B点在φ 方向位移均为0，可不考虑。但是因P点和B点同为球面上的点，当球面膨胀或缩小后，PB在变形前后球面上的距离发生改变，引起θ 方向的应变，由于P、B 在r 方向的位移为ur，（不相等时会破坏球对称），可知变形后PB长为(r+ur)dθ，因此有

再来考虑PA和PB夹角的改变，因P、A只在r 向发生位移，不会发生偏转，同时由于P、B在r 方向的位移为ur（不相等时会破坏球对称），也不会发生偏转，因此

再以图4(b)视角观察，对PA变形等同于图4(a)视角观察结果，得下式所示结果

对PC的变形分析，等于图4(a)视角中对PB的观察结果，只是方向被切换至φ 方向，有

可见，εθ=εφ=ur/r，因此统一将θ、φ 方向的线应变记为εT。同理，考虑PA与PC夹角的改变，因PA与PC均不发生偏转，所以

最后，以图4(b)视角观察，因球对称各点在θ、φ 方向没有位移，因此在θφ 平面内观察构型P-ABC，在变形前后保持不变（各点只有垂直于θφ平面的位移），PB和PC的应变分量如(b)和(c)所示，其切应变为0。

整理三个视角的结果，并考虑到应变只是r 一个变量的函数，偏导可以写为导数，有

此即为球对称问题的几何方程。可见，球对称问题只需要考虑三个应变分量，将θ、φ 方向应变等价考虑后，只需要考虑两个应变分量，其它应变分量均为0。将应变分量代入物理方程（广义胡克定律），有

因切应变全部为0，可导出τρθ=τρφ=τφθ=0。利用线应变的三项，写出用应变表示应力的物理方程，有

可见，σθ=σφ，也将σθ 和σφ 统一写为切向应力σT。将其整理后，写为

最后来建立平衡方程，取图5所示微元体。注意一点，由于球对称问题的应力只是半径r 的函数，因此应力对坐标的偏导，可以写为导数。

图5 球对称问题列平衡方程的微元体模型

因此，r 方向的平衡方程，有

考虑到，当dφ 很小时，sin(dφ/2)≈dφ/2，同时，将两边同除以r2drdφ2，再略去高阶无穷小，有

由于在θ 和φ 方向应力不发生变化，自然平衡，可不予考虑。由此可见，球对称问题的平衡方程只需要写r 方向的平衡，只有一个方程。整理一下，球对称问题平衡方程有1个，几何方程2个，物理方程2个，共5个方程；未知量包含位移分量ur，应变分量εr、εT，应力分量σr、σT，共5个未知量。

如果我们回顾一下坐标系的学习历程，对于平面问题，从平面直角坐标系到极坐标，虽然都是8个方程求解8个未知量，但由于边界条件的特殊性，能用极坐标求解的问题就显得比直角坐标系的问题简单。对于空间问题，空间直角坐标系需要利用15个方程求解15个未知量，柱坐标求解的空间轴对称问题，是利用10个方程求解10个未知量，再到球坐标求解的球对称问题，则是用5个方程求解5个未知量。

从问题的难度来看，直角坐标系直观性强、理论便于理解，非直角坐标系相对抽象、理论推导略显复杂。但从它们求解的题目来看，非直角坐标系比直角坐标系下的题目大大简化，特别是球坐标解决的球对称问题，由于所有的未知量只是半径的函数，偏微分方程变成了常微分方程，使得问题的求解得到了较大的简化。换言之，我们先学直角坐标系，一开始就把弹性力学中最难求解的题目学了，然后再学别的坐标系，题目求解难度都在降低。

对于球对称问题，边界条件的描述也十分简单，如应力边界条件的公式如下，

考虑一空心球体，在外球面上，法线与半径方向（r 方向）相同，与θ、φ 垂直，因此，l=1，m=n=0。由于球对称， 。因此上式变为

只需要考虑r 方向的面力与应力平衡即可，边界上3个式子变为1个。位移边界条件，也因球对称，只需要考虑r 方向的位移约束，写成

表示球面上的已知位移。

参考资料：
徐芝纶. 《弹性力学》（第五版）2016
吴家龙《弹性力学》2001

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。