工程问题的静力学分析

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静力学分析一般是解决工程问题的基础，忽视静力学分析，有时会造成不必要的麻烦，甚至于重大的经济损失和人员伤亡。本文将通过三例工程实例中的静力学分析，来说明工程问题的静力学分析过程，并重点探讨从工程问题向力学问题的简化过程。

案例一 吊车翻倒分析

图1(a)-(f) 是网络上流传的一组吊车翻倒的事故图片，最先一辆白色小轿车不慎掉入湖中，先请来一辆小型的吊车打捞，结果在小轿车出水后，吊车被拉入水中；然后又请来一辆大型吊车，顺利地将小轿车吊起，但在起吊小型吊车时又被拉入水中；最后来又请来一辆大型吊车。

图1 吊车因受力不平衡发生倾倒事故

在这起事故中，只要进行简单的受力分析，就可以避免事故的发生。我们取图1(f) 为例进行分析，画出吊车的简图，如图2(b) 所示。吊车在工作中，通常会在车身两侧伸出两个支撑A和B，把车辆撑起，使车轮离开地面以保持稳定，将其简化为光滑面约束。

设左支撑A到车辆重心作用线的距离为a，右支撑B到车辆重心作用线的距离为b，以及吊车起吊重物作用线到重心的距离为c。本例中，起吊重物W 和车辆重力G 为主动力，支撑处的作用力F1和F2是被动的地面约束反力，其大小因主动力状态不同而不同。

图2 吊车的受力分析图

我们希望在整个起吊过程中，吊车都保持平衡状态，不发生任何移动。根据平衡条件，需要保证吊车所受的合力为0，合力矩为0（不翻转）。考虑到本例中，只有竖直方向的力（不需要列水平方向的力平衡），为此，我们列平衡方程有：

显然，当F2=0时，说明W 过重，已到达吊车向左翻转的临界值。此时，上述两式变为

这说明，当c、a 确定时，最大起吊重量W 不能超过Ga/(c-a)。同理，若确实需要起吊较大重量，相当于起吊重量W 确定。此时，若c 已知，变换上式可求得a 的允许取值为

若a 已知，变换上式可求得c 小于等于 (W+G)a/W

很多时候，人们总是习惯依据经验进行判断，力学更多是在事故发生后才会被人们重视，然而，有些事故一旦发生就难以补救。事前力学分析是十分必要的，因为幸运并不总能发生。

案例二 升降台的受力分析

升降台是一种垂直运送人或物的起重机械，除作为不同高度的货物输送外，升降台还广泛应用于高空的安装、维修等作业。将升降台安装在汽车底盘上，可实现自由行走，工作高度空间也有所改变，使其具有重量轻、自行走、自支腿、操作简单、作业面大，进行高空作业等优点。

为了便于说明，将升降台各铰接点进行如图3所示的标注。考虑到升降台的对称性，可以只取一半为研究对象。如设摇杆总推力为2F，总起重重量为2G。只考虑图中EH 和AB 所在平面分析，认为其起重重量为G，摇杆推力为F。

图3 升降台

首先画出升降台的力学简图：由题意可知，铰H固定了x、y方向的运动，将其视为固定铰支座，铰A可以滑动，将其视为滑块或者滑动铰支座。任意瞬时，当升降台保持平衡时，E、B两点只受上平台的重力，分别设为G1 和G2（与E、B位置相关）。

根据上述分析，画出该升降台的力学简图如图4所示，在本例中G1和G2分别表示上台面加在斜杆上的力，升降台高度用h 表示，升降台斜杆张开距离用a 来表示，均为已知。我们尝试分析在确定的提升重力下，升降台升高高度h 与主动推力F 之间的关系。

图4 升降台力学简图

并建立图4所示坐标系，其中O点为上台面的中心。可见，当升降台升起时，E点将从O点的左侧向右侧滑动。记E点的坐标为(xE, 0)，则xE 可以取负（E在O点左侧），取正（E在O点右侧），也可以等于0（E恰好在O点）。如图5(a) 所示为上台面的受力分析图（尺寸如图中所示），有xE=-c。再画出升降台的整体和AB杆的受力图，如图5(b)-(c) 所示。

图5  升降台受力分析图

以图5(a) 为研究对象，列平衡方程，有

求解上式得，FA=G1，FHy=G2，F=FHx，但还无法求得主动力F 与G 之间的关系，需再补充研究对象，如图5(c) 所示，对C点取矩，有

求解上式得，并代入已知量，有

由图5(a) 可知，a=b-xE，因此，当升降台升起时，xE 逐渐增大，a 逐渐减小，h 逐渐变大，因此推力在这个过程中是逐渐减小的，原则上a 不能小于或等于上台面的一半。因为当等于上台面一半时（E和O点重合），G2等于0，相等于只有一根杆支撑，此时若稍有靠左侧的力，升降台将向左翻倒。若a小于上台面一半时（E和O点右侧），G2小于0，说明FHy 向下，如果升降台没有在地面固定，将不能提供向下的FHy，也意味着升降台必将翻倒。因此，一般情况下，a 不小于上台面的一半。

案例三 平衡吊的受力分析

平衡吊是一种小型起重机，常用于工厂中协助人力频繁搬运重物，具有结构简单、操作灵活、直观、适合于单人操作等优点，在生产中广受工人们的欢迎。

从力学结构上看，平衡吊为一个平行四边形机构，如图6(a) 所示。只画出上部机构的力学简图，如图6(b) 所示。

图6 平行吊的力学简图

参考自：庄表中《理论力学工程应用新实例》PPT, 2007

由于平衡吊要实现可以在任意位置平衡，因此，本例中我们重点探讨一下，平衡吊在设计时的相关尺寸要求。为此画出平衡吊整体、CD杆、A点的受力分析图，如图7(a)-(c) 所示。先以图7(a) 为研究对象，对B点取矩，列平衡方程，有

由上式导出

以图7(b) 为研究对象，对C点取矩，列平衡方程，有

由上式导出

图7 平行吊的受力分析图

参考自：庄表中《理论力学工程应用新实例》PPT, 2007

以图7(c) 为研究对象，建立A点的平衡方程，有

由上式导出

将图7(b) 分析得到的FE 结果代入，整理后，得

令上述结果与图7(a) 中得到的FA相等，消去FA，得

也就是说当平行四边形机构中满足上式时，平衡吊可满足随处平衡的条件。

总结：由上述三个工程实例可知，利用静力学处理工程问题，主要包括以下基本步骤：

  · 了解研究对象的工程结构及其工作原理；

  · 将工程问题进行抽象，并画出力学简图；

  · 分析主动力、约束反力，画出工程问题的受力分析图；

  · 依据平衡条件列平衡方程；

  · 求解平衡方程，得到需要的指导原则。

不过，现有的力学教材中，大多例题都直接给出力学简图，缺少从工程问题向力学问题简化的训练。这样，在学生尚未理解相关结构（或机构）的工作原理时，强行进行受力分析，在理解上会造成大的困难。还有一些题目，直接忽略工程背景，使力学题目变成纯粹的受力分析和力学计算，这就相当于剪掉了力学问题的工程牵引力，使力学失去实用价值，从而使学生失去了对力学的学习兴趣。

因此，静力学作为力学学习的入门课程，应该在教学中加强由工程问题向力学简图的抽象能力培训，并可由此增强学生的工程素养，这不仅对于提高学生的学习兴趣和提升学生处理实际工程问题的能力至关重要，同时还为学生打开力学的大门，进入后续的力学课程提供了可能。

原文注：本文参考了浙江大学庄表中老师的《理论力学工程应用新实例》PPT资料！本文在整理过程中得到了太原科技大学刘利亭老师的帮助！

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。