如何从力学概念角度来审视工程结构有限元分析？

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导读：在很多没有经验的分析新手看来，有限元分析可能就是一个单纯的软件操作过程。但是新手在学习了一段时间的软件操作后，在面对实际的工程问题时，还是不知道应当从何处入手，即便去模仿一些类似范例的操作过程，但是也不清楚这样的操作是否适合于当下的问题。对于算出的结果，也不清楚算的到底对不对。当这些林林总总的问题反复出现时，新手们估计已经开始意识到，有限元分析这件事情不能归结为会操作软件那么简单了。感兴趣的朋友，可以关注笔者在仿真秀2022“力学与有限元学习月”系列直播的第三期公开分享《结构有限元分析与力学概念》,敬请期待，详情见后文。

一、结构分析求解本质上是力学问题

对于工程结构分析而言，有限元分析所求解的问题在本质上就是力学问题，而结构有限元分析的过程实际上就是通过计算机程序来求解这些力学问题的过程。既然求解的问题都是力学问题，那么在计算之前，需要把这个力学问题明确下来，也就是需要弄清楚问题的控制方程、求解域和边界条件等。

以弹性体的力学分析为例：

对于3D问题，其实质是求解6个独立的应力分量（剪应力互等）、6个独立的应变分量以及3个位移分量的弹性力学问题，这个问题可通过联立平衡方程（3个）、几何方程（6个）、物理方程（广义胡克定律，6个）来求解，相关的方程如下图所示，其中包含了惯性体力时用于分析动力学问题。

上述问题的方程个数等于未知量的个数，因此问题是封闭的。其边界条件包括应力边界条件、位移边界条件或混合边界条件。荷载可以是表面力（应力边界）或3个方向的体积力。

对于弹性力学2D问题，其实质是求解3个独立的应力分量、3个独立的应变分量以及2个位移分量的弹性力学问题，这个问题的控制方程包括2个平衡方程、3个几何方程以及3个物理方程，方程个数等于未知量的个数。荷载可以是体积力或表面力（应力边界）。

把各种实际工程结构映射为一个力学问题的计算模型的时候，力学概念可以帮助确定应用何种单元类型。比如，梁弯曲问题的弹性力学解答告诉我们，弯曲应力沿横截面高度实际上并不是线性的分布，尤其是对于跨高比较小的梁构件来说更为明显，由弹性力学解答可以帮助分析者选择更合适的单元类型来得到问题的正确解答，比如壳单元或连续体单元，而不是采用梁单元。

工程结构中的实际问题通常包括强度、刚度、稳定性、振动等类型，对于力学概念清楚的分析者来说，这些问题是可以很好地映射为一个明确的力学问题的，进而在软件中用计算模型将这个问题描述出来，这应当是解决工程问题的正确过程。这一过程可以形象地概括为，有限元分析过程的“二次映射”，如下图所示。

在第一次的“映射”过程中，各类工程问题被抽象为一个求解域、控制方程和定解条件都明确的具体力学问题。在第二次的“映射”过程中，通过具体的数值分析模型将待求解的问题描述出来。实际上，经过“二次映射”后，问题已经迎刃而解了。

在上述过程中，力学概念起到了由工程问题到计算模型中间的“桥梁”作用，而计算软件则是数值分析实现的“载体”。

需要指出的一点是，对于从事研究工作的人来说，如果所研究问题的机理不能用现成的力学理论或方程来描述，那用分析软件也同样无法解答，因为分析软件无非不过是一系列明确的力学问题的求解程序而已。

二、力学概念对于有限元分析的指导作用

前文已述及，工程结构有限元分析求解的问题在本质上是力学问题。有限元分析软件的求解器，本质上是基于有限元方法编制的力学问题的计算程序。

既然有限元分析求解的问题都是力学问题，那么力学概念当然可以为有限元分析的过程提供理论依据和指导。只有把问题的性质搞清楚了，才能调用正确的软件计算模块来分析，把问题的求解域和边界条件弄清楚了，才能正确有效地建立计算模型。

力学概念清楚的软件用户，不仅可以正确地完成分析任务，还可以通过力学概念来避免一些不必要的工作量，并且能够运用有关的力学概念来验证分析模型的正确性和有效性。

下面列举一些力学概念或原理在指导有限元分析中的具体应用。

首先，弹性理论的一些基本原理对有限元分析及其计算结果的解释等方面都有指导作用。

根据解的唯一性定理，如果多个分析者计算同一问题时得到不一致的结果，那么这些人中间最多只有一个人的结果是对的。

在弹性理论中，在次要的边界上可以用圣维南原理，通过静力等效来简化应力边界条件，而这一简化也同样为有限元分析中约束和载荷的施加以及结果后处理中剔除加载点附近的应力奇异现象提供了理论依据。

确定边界条件是有限元分析中的重要一环，在此环节中力学概念同样可以提供指导。

在确定求解域时，根据平衡条件，可以对整体结构也可选择结构的任意局部进行分析。因为处于平衡状态的结构，其各个部分必然都是平衡的。如果选取结构的局部进行分析时，隔离体的边界条件必须明确且能够符合实际受力情况。因此，求解域的边界通常选择在约束条件比较明确的位置。在计算中常用的对称性，其实也用到结构力学的对称性分析的原理。常用的法向对称包含结构对称、载荷约束对称或者结构对称、载荷约束反对称两种情况。对于正对称问题，在对称面上反对称的位移分量为0；对于反对称问题，在对称面上，正对称的位移分量为0。

另一个问题是，关于静力分析和动力学分析如何区分的问题。目前，一般的做法是首先计算结构的固有频率，并与荷载的性质进行比较。一般当加载时间多于自振周期的数倍时，即认为是静力问题。关于这一点，其实可以通过结构动力学解答找到依据。下图是具有有限上升时间tr的阶跃荷载作用下单自由度振动解答。由图中所示的两组解答来看，随着加载时间（上升时间）的增加，结构的动力响应越不明显。一般而言，超过3倍结构固有周期时，载荷激发的振动将显著降低，可以作为静力问题来处理。

对于计算完成后的结果分析、设计改进方面，更需要分析者运用力学概念进行思考。比如：之前有的设计人员在进行有限元分析后，发现梁的强度不满足设计要求，于是对梁进行了截面的补强，但是由于概念不清楚，甚至是缺乏基本的力学概念，补强板被设置在梁受力的中性层位置附近，这样实际上根本无法起到补强的效果。由此可知，如果没有力学概念的指导，有限元分析即使计算得到正确结果，也就无法有效应用于实际。

三、有限元分析中需要注意的一些问题

一般来说，能通过解析方法求解的力学问题十分有限，工程结构分析中的大部分问题需要借助基于有限单元法编制的软件进行求解。作为一种数值分析方法，有限元方法的整个求解过程，与求解数学物理方程中的那些经典的解析方法是完全不同的路子。下面的表格列出了力学解析解法和有限元方法之间的区别。

有限元方法是一种物理意义上的近似方法，其求解过程通常包括以下步骤：

  · 结构离散化。有限元分析模型由一系列单元组成，这些单元通过公共节点连接起来。

  · 单元分析。各单元按照假定的位移模式进行位移插值，基于变分原理建立单元节点力和节点位移之间的关系，即单元刚度方程。

  · 结构分析。基于相邻单元在公共节点上的位移协调条件和节点的平衡条件，建立离散结构体的平衡方程，即总体刚度方程。

  · 引入边界条件，消除总刚方程的奇异性，求得节点位移。

  · 计算其他导出解。基于节点位移，得到支反力、应变和应力等解答。

注意：对于采用等参变换单元，由于采用数值积分技术，因此计算得到的原始应力和应变其实都是单元的数值积分点上的值。

由此可见，有限元方法的求解过程有别于力学的解析方法，分析软件的用户需要充分了解软件的计算原理和实现途径，否则在分析中可能出现问题。

在应用最多的强度分析中，很多人有一种习惯，就是在计算完成后直接查看应力结果。这个做法在概念上来说是不正确的，有限单元法的直接解答是位移，应力是导出量。因此，在计算完成后，应当首先检查位移（变形）结果，然后查看支反力（检查平衡条件和载荷传递路径），最后才是查看应变和应力这些量。如果位移结果不正确，那么应力解答也就变得没有意义了。一般地，建议应当按下图所示的顺序来查看结果。

对于应力结果的查看和分析，也需要对有限元方法计算应力的过程有所了解。要注意区分单元的应力解答和节点的应力解答，区分未平均的应力解答和平均的应力解答，区分应力集中和应力奇异。否则，就很容易被一些数值计算结果的表面现象所蒙蔽，而得到一个错误的认知。比如在塑性分析中，可能会出现应力显著超出屈服应力的情况，这类问题如果能够从有限元方法的计算机理入手，就不难得到正确的认知，并采取必要的措施来改进。

除了对有限元方法本身的计算原理有所了解之外，还需要分析者对分析软件的名词术语、单元类型和各种规定有必要的了解。

以ANSYS为例，在建模和分析中经常会涉及到坐标系的概念，常见的坐标系包括总体坐标系、局部坐标系、节点坐标系、单元坐标系、结果坐标系等。

  · 总体坐标系和局部坐标系用户各种前后处理操作，可以是笛卡尔坐标系、柱坐标系或球坐标系。

  · 节点坐标系作为节点属性，可以用来定义节点载荷及约束的方向，并存储计算的节点位移原始解答。

  · 单元坐标系作为单元的属性，除了单元辅助定位外，还可用于定义与方向有关的材料参数。

  · 结果坐标系用于显示结果，比如压力容器的径向、轴向、环向应力就可以在圆柱坐标系下查看。

还有就是需要了解分析软件的求解组织过程，比如ANSYS 的Load Step、Sub Step，或者ABAQUS 的Step 和Increment。对不同的待求问题，需要根据问题的特点来进行求解过程的顶层设计和细节设计。求解过程分成几个大的阶段（加载步），每步又需要细分为多少增量步，这些会直接影响到求解的效率和精度。其他的分析选项设置也应结合分析类型和对应的力学概念，选择合适的选项。有的用户不去思考这些问题，一律采用缺省的选项设置，计算出来的结果往往会出现各种问题。

综上所述，有限单元法求解的问题本质上都是力学问题，力学概念可以对结构分析的全过程提供指导，有限元分析的具体实施过程中，还需要分析者了解算法的基本原理和软件的相关知识，这些都是做好分析的必要条件。

文章来源于仿真秀App ，作者尚晓江