为什么要做傅里叶变换？

执着向前

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日-1830年5月16日），法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家。他在研究《热的传播》和《热的分析理论》时所创立的傅里叶级数和傅里叶变换已成为数理分析的基本工具。

几乎所有能想象到的信号都可以分解为简单波的组合。这一事实是傅立叶变换(FT)背后的核心哲学。

复杂的信号可以分解成简单波之和。简单波的参数确定就要用傅立叶变换。

在谈论傅立叶变换时，声音可能是最容易想到的事情。如果你能看到声音，那看起来就像空气中分子快速地来回弹跳。但奇怪的是当你听到声音时，你并没有感知到空气的来回移动，而是由它的频率来感知声音。例如，当有人在钢琴上弹奏中音 C 时，你不会感觉到你的耳朵每秒被敲击 261 次（央 C 的频率），你只会听到一个单音。空气的抖动就是信号，而相应的音调就是该信号的傅立叶变换。

琴键排列就像声音的傅立叶变换

当您想象一种声音或演奏一种乐器时，考虑声音的音调比考虑空气的实际运动要容易得多。

事实上，当声音以数字方式记录时，声波本身的振动可以记录下来（.wav文件），但现在更多的是记录其傅里叶变换。每时每刻都会“写下”各种频率的强度列表（如下图所示）。

声音傅立叶变换示例

mp3 文件大体就是记录了上图内容(当然实用操作还要结合更多优化技巧）。当扬声器实际播放声音，FT 才会恢复为常规声音信号。

老式唱片记录原始的模拟信号(不是 FT）

傅立叶变换的存储形式对声音滤波很容易。例如，当您调整音响系统上的均衡器时，例如更改低音或高音时，您真正要做的是告诉设备在将信号发送到扬声器之前将不同的频率乘以不同的数量。因此，当基音调高时，较低的频率会乘以比较高频率更大的值。

然而，声学只是傅立叶变换最简单的应用。图像是另一种信号，但与声音不同，图像是“二维”信号。仍然可以找到另一种傅立叶变换，它也是二维的。科学家发现对于几乎所有非随机静态的图片，大部分傅立叶变换都集中在较低频率附近。简而言之，这是因为大多数图片不会在短距离内快速变化，因此较高的频率并不那么重要。这是“.jpeg”编码和压缩背后的基本思想(使用还需结合更多技巧）。

图像及其傅里叶变换

请注意，大部分 傅里叶变换集中在中心（低频）。将中心之外的数据删除 可以节省大量数据，并且不会对图像造成太大失真。这被称为“低通滤波器”。

有趣事实：戴帽子女人的图像被称为“Lenna”，它是图像处理测试中最常用的标准考题之一。

虽然数字技术已经为傅里叶变换带来了广泛的用途，但距离成为实用还有很长的路要走。在数学和物理学中，你会发现到处都用到傅里叶变换。

用简单波来描述事物很容易理解，比如钟摆或一个弹跳球。通常可以将复杂波分解为简单的波（或近似地这样做），然后研究简单波的单独行为，然后再将其重构。

物理学家经常在谈论函数和其傅里叶变换之间跳来跳去，以至于他们几乎看不到二者区别。例如，出于某种原因，在量子力学中，粒子位置的傅里叶变换是该粒子的动量。从字面上看，当某物具有很大的动量和能量时，它的波具有很高的频率，并且往复波动剧烈。将傅里叶应用于量子力学是推导出著名的海森堡不确定性原理的最直接方法之一！傅里叶变换甚至出现在量子计算机中。

数学家往往对傅里叶变换的抽象数学特性比对更直观的特性更感兴趣。许多几乎不可能直接解决的问题，在运用傅立叶变换后变得很容易。函数的数学运算，如导数或卷积，在傅立叶变换的变换域变得更易于操作（尽管更常见的是，采用 FT 只会让一切变得更糟）。

傅里叶变换能让线性微分方程变成代数方程，而代数关系让物理本质和规律更容易被看出来。进一步傅里叶变换也能让偏微分方程变成常微分方程。很多物理过程都遵守线性微分方程的数学关系。

更为重要的是傅里叶变换有快速算法，即快速傅里叶变换(FFT),其速度较普通积分法能快上上百倍(与变换长度有关)。相应地，卷积、相关等经过一定变换也都可以用快速傅里叶变换来计算。