弹性力学之边界条件

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弹性力学基本方程包括平衡方程、几何方程和广义胡克定律，其中平衡方程和几何方程都属于微分方程。我们知道，在求解微分方程时，会出现积分常数，只有确定了积分常数，弹性力学问题的解才是唯一解。而确定积分常数的任务就落在弹性体的边界和边界条件上，围绕边界和边界条件，本文讨论三个问题，边界条件的分类，边界条件的本质，以及边界条件的数学表达，为弹性力学问题求解打下基础。

一、边界条件的分类与本质

如图1(a)所示，设有一被固定约束的弹性体，其边界上一部分受面力f 作用，另有一部分为自由状态。为了求出该弹性体的应力分布，需要先选取物体上任意一点P 点，如图1(b)所示，以该点为基准，建立微元体模型，通过分析该微元体的应力、应变、位移，建立弹性力学基本方程，并进行求解。

必须强调的是，任意选出的这一点一定不能是边界上的点，一旦所选取的点位于边界上，如P1、P2、P3，其受力和变形将会相应的受到边界上载荷和约束的限制。例如，弹性体内部的微元体，微面上的应力分量均来自于相邻微元体的作用，但边界上的微元体，将有一个微面成为边界的一部分，不再有相邻的微元体，此时的微元体的平衡将受边界上的外力限制；若边界微元体正好处于约束区域，其变形和位移又必将受到约束的限制，这些边界上的力和变形的限制统称为边界条件。

图1 弹性物体及其上一点处的微元体模型

如果边界上外力已知，称该边界条件为应力边界条件（如P3点）；如果位移已知，则称之为位移边界条件（如P2点）；特别地，对于自由边界（如P1点，不受任何约束），可将其视为面力为0的应力边界条件。当某边界既有面力，同时又有位移约束时，称之为混合边界条件（如图1(a)整体边界）。应力边界条件、位移边界条件、混合边界条件，就是弹性力学问题的三类边界条件。

应力边界条件本质上反应了弹性体在边界上的平衡条件。假想弹性体被分割为无数个微元体，内部微元体满足平衡方程，如果我们可以一个个的观察微元体之间力的传递情况，直到边界上的微元体，一方面它与邻近微元体相连，另一方面受边界面力约束，可以建立应力与边界外力之间的平衡关系。

位移边界条件的本质也可以认为是满足平衡条件，因为位移约束可以由约束反力来等效，约束反力需要与应力之间形成平衡关系。例如求出图1(a)中的约束反力后，位移边界就转换为应力边界条件，就具有了应力边界条件的性质。

我们知道，材料力学的主要研究对象为细长结构，如杆、柱、梁、轴等，弹性力学区别于材料力学的重要特征就在于弹性力学突破了材料力学细长结构的局限，它可以解决任意形状的变形体力学，这正是由于弹性力学以微元体为研究对象，而微元体可以组成任意形状的物体，特别地，弹性体的边界和边界条件正是用来限定微元体组成物体的形状，并给出边界上受力和约束情况。

以下以平面问题为例，分别讨论如何对应力边界条件和位移边界条件进行数学描述。

二、应力边界条件

假设图1(a)所示弹性体满足平面应力（或平面应变）条件，该问题为平面应力（或应变）问题。考察边界上的点，不妨取P3点为任意点P（若选P1点面力分量为0），以该点为基准建立微元体PBC，如图2所示。这里，微面PB和PC上的应力分量由邻近微元体相互作用产生，微面BC为边界的一部分，习惯上也称其为斜面，受力由面力给出。斜面BC的方向由外法线方向n 分别与x 轴、y 轴正向夹角的余弦确定，称之为方向余弦，并定义

图2 边界处微元体模型

将斜面BC上的面力分解为 和 ，规定面力分量的方向与坐标方向一致时为正，相反时为负。若BC的面积为ds，则PC的面积为mds，PB的面积为lds，建立平衡方程有

x 方向：

y 方向：

两边同时约去ds，整理后得

将其写成矩阵形式为

这里， 为边界应力矩阵，分量为未知量； 为方向矩阵，由边界几何特征给出； 为面力矩阵，由边界面力给出。可见，只要能分析出边界熵的方向余弦和面力分量，再将其代下式就可以写出应力边界条件。

此外，边界上应力分量加下标s，表示该应力为边界上的应力，如果提前声明是对边界进行分析，也可以忽略下标s。

以下我们举例说明如何写出弹性力学问题的应力边界条件。如图3所示为一变截面悬臂梁，斜边界上受垂直于边界的均布在q，水平边界为自由边界，试写出该悬臂梁的边界条件（不考虑固定端边界条件）。

图3 例题：写出图示变截面悬臂梁的边界条件

第一步，如图建立坐标系。边界条件总是建立在一定的坐标系下，坐标系不同，写出边界条件就不同，因此一定要明确坐标系。

第二步，分析边界。该问题有两个应力边界，斜边界和水平边界，分别考虑：

1. 水平边界

边界位置：用方程写出水平边界为y=0（注意x 的取值范围）。

方向余弦：其外法线方向与x 轴垂直，所以l=cos(n,x)=0，m=cos(n,y)=-1。

边界面力，水平边界为自由边界，有 =0， =0。

2. 斜边界

边界位置：用方程写出斜边为y=h-xtanθ（注意x 的取值范围）。

方向余弦为l=cos(n,x)=sinθ，m=cos(n,y)= cosθ。

边界面力，将斜边界面力分解后，得=-qsinθ，=-qcosθ。需要强调的是面力的正负，与坐标方向一致。

第三步，写边界条件。将上述结果代入下式

得：

  · 在水平边界上，即在y=0上，

  · 在斜边界上，即在y=h-xtanθ 上，

这就是写应力边界条件的“三步骤”：建立坐标系、分析边界的几何特征和面力分量、代入公式得到应力边界条件。可见，难点主要集中在第二步，对边界几何特征和面力分量的分析，只要能完成第二步，第三步将分析结果代入应力边界条件进行化简，就相对简单了。

有些弹性力学问题的边界较为复杂，如图4所示，此时只需要耐心的将其分段，然后在每一段上进行如上所述的三步骤，分别写出边界条件即可。

图4 复杂边界情况

三、位移边界条件

位移边界条件本质上也可以视为边界上的平衡条件，不过，一般情况下，求出约束反力为集中力或力偶，如图3所示的例题，需要利用圣维南原理写等效边界条件。这里，直接写出在边界上需要满足位移约束条件。

仍然以图3所示的变截面梁为例，写出其左端固定端的位移边界条件。

第一步，仍然为建立坐标系。

第二步，分析固定端边界。固定端约束的特点是，既不能发生线位移（上下、左右移动），也不能发生角位移（转动）。

边界位置：在固定端上任选一点，如x=0，y=0点。说明：一般情况下，固定端约束区域任选一点满足边界条件后，其它点可自动满足。所以，选择一点即可。

线位移约束：该点不能上下、左右移动，us=0，vs=0。

角位移约束：该点处微段不能发生转动，(əu/əy)=0（或者 (əv/əx)s=0）。这里，əu/əy 表示固定端上任意点处竖直微段的偏转角，əv/əx 表示固定端上任意点处水平微段的偏转角，如图5所示，两个微分写哪一个都可以。

图5 固定端两种偏转角的意义

第三步，给出位移约束的数学描述。在x=0，y=0处，us=0，vs=0，(əu/əy)=0（或者(əv/əx)s=0）。

写出位移边界条件的关键在于理解各类约束的数学描述，弹性力学中常见的位移约束除固定端约束外，还有固定铰支座约束和滑动铰支座约束，如图4所示的简支结构，设其底边长为L，利用位移边界条件的三步骤，则写出位移边界条件为：

  · 在x=0，y=0处（固定铰支座），u=0，v=0

  · 在x=L，y=0处（滑动铰支座）v=0

由于混合边界条件由应力边界条件和位移边界条件混合而成，写混合边界条件时，只需要先限定边界区域，然后写出应力或位移边界条件即可。

结束语

在工程上，无论是桥梁、大坝或是各类机械产品，只要材料可视为各向同性材料，它们的控制方程就都满足弹性力学基本方程，但它们的解却千差万别，这正是在于它们边界和边界条件千差万别。从数学角度看，弹性力学基本方程确定的是通解，边界条件是通解变为确定解的定解条件。在弹性力学的世界中，边界和边界条件使得弹性力学变得“丰富多彩，色彩斑斓”。实际上，现阶段对弹性力学问题的研究也在于边界和边界条件的分析，并获得各种特定问题的弹性力学解。

参考文献：
徐芝纶《弹性力学》（第5版）

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。