用智能手机探索大摆幅的振荡和阻尼振动

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今天欣赏的文章是来自美国的《The Physics Teacher》——Li, D., Liu, L., & Zhou, S. (2020). Exploration of Large Pendulum Oscillations and Damping Using a Smartphone. The Physics Teacher, 58(9), 634–636. 这篇文章是国内学者写的，其实大家也可以尝试往国外期刊投文章。

前  言

文章首先指出传统物理实验的一些局限，同时指明利用智能手机做实验已经逐渐流行。然后指出本文的研究内容：利用智能手机中的光传感器来测量单摆的振荡周期。实验设备由激光发射器和内置光传感器的智能手机组成发射和接收系统，使用这个系统来探索大摆角、不同摆长和阻尼效应的扩展摆实验。

理论基础

当忽略耗散力时，单摆的运动可以看作是简谐振动。然而，在大振幅振荡的情况下，可以观察到周期对角位移的依赖性。因此，摆的周期(T )、摆的长度(L)、最大角位移(θ ) 和自由落体加速度g 之间的关系为：

当单摆的运动受到空气阻力的影响时，它不再经历简谐振动。这种振荡被称为阻尼振荡，其振幅不再恒定。结果，振幅y 和时间t 之间的关系表示为：

实验1

实验中微型激光发射器发光，智能手机的光传感器接收连续的激光。摆锤放置在智能手机的激光发射器和光传感器之间。当摆锤摆动到阻挡从发射器到接收器的光路的位置时，光传感器接收到的光信号会发生变化。接收到的光信号呈现周期性变化，因为单摆的振荡是周期性的。当摆锤沿着激光束振荡并到达微型激光发射器的顶端时，光照度在一个周期内具有最大值。当摆锤摆动到平衡位置并完全阻挡光束时，照度降至零。摆的周期T 是两个相邻峰值之间的时间间隔。通过Phyphox App记录并显示实验数据，可以导出到Excel进行进一步分析。然后可以计算出摆T 的周期和自由落体加速度g。

图1

图片来自：PER物理教学微信公众号

使用图1所示的单摆设置，我们借助量角器将5°设置为初始角位移θ，将0.30m设置为初始摆长L。释放摆，摆锤沿激光束路径振荡；获取周期T。我们保持初始角位移几乎不变，用0.35米、0.40米、0.45米、0.50米、0.55米和0.60米的不同摆长重复实验六次，然后将初始角位移θ 改为25°，重复上述实验程序。钟摆T 的所有周期都被记录并显示在表1中。

表1

图2

图片来自：PER物理教学微信公众号

散点图和线性拟合显示了两个不同释放位置的周期平方与摆锤长度的关系。初始角位移为5°时，斜率为4.059s*2/m的数据点线性拟合，初始角位移为25°时，斜率为4.168s*2/m。

图3

图片来自：PER物理教学微信公众号

该图描述了在初始角位移为5°和25°的两种情况下，绝对相对误差相对于正弦阶数的趋势。

实验2

为探索耗散力对单摆运动的可能影响，在这种实验条件下，施加在摆锤系统上的空气摩擦不能忽略。由于空气摩擦，钟摆运动的幅度可能会随着时间逐渐减小。一般来说，虽然单摆的周期会随着单摆阻尼运动而略有减小，但如果周期变化的波动不大，它将被视为常数。我们将大约25°设置为初始角位移，将0.58m设置为初始摆长，并使摆锤从微型激光发射器附近的一侧沿着激光束振荡。在接收系统中，智能手机的光传感器接收到的照度随着鲍勃在一段时间内阻挡光线而逐渐变化，利用phyphox应用程序记录了光照度随时间的变化。

图4

图片来自：PER物理教学微信公众号

phyphox应用程序记录并显示照度与时间的关系，如图5(a)；从图5(a )可以看出，智能手机传感器无法区分在平衡位置的右侧接收的数据和在左侧接收的数据。在图5(a) 中，如果第一峰值表示测量的照度在一个转折点达到最大，则第二峰值应该表示测量的照度在另一个转折点达到最大，然后在外观上交替。在分析导出到Excel的数据时，当摆锤摆动到右侧并放入一个当摆锤向左摆动时数据为负。

下一步是将数据复制到MATLAB软件中，并根据公式绘制和拟合数据。利用MATLAB曲线拟合工具箱，如图5(b)。从结果来看，当摆锤静止且摆锤处于平衡位置时，光传感器接收到的光照度值几乎为0lx。光照度的最大振幅随时间逐渐减小。它反映了摆锤运动的最大弧长位移随时间逐渐减小。由MATLAB拟合曲线，得到初始振幅y0 为18.22lx，阻尼常数b为0.0690s-1，拟合相关系数为0.95，角频率为4.101s-1，根据实验结果，发现摆振动的振幅随时间的增加呈指数下降。实验有助于学生更好地理解阻尼简谐运动。

(a) Phyphox应用程序记录并显示相对于时间的照度；(b) 用MATLAB软件显示照度与时间关系的图表和拟合。

图5

图片来自：PER物理教学微信公众号

总  结

智能手机中的光传感器被引入来测量单摆的振荡周期。我们在大摆角、不同摆长和阻尼效应的扩展条件下进行了两个摆实验。这些实验旨在强调单摆在简谐运动中受限于小的初始角位移，并且用探究耗散力阻尼下的单摆运动。

来源：PER物理教学微信公众号（ID：PERWLJX）