力学的几何化——黎曼几何与拉格朗日动力系统

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在一张光滑曲面上给了一个坐标架场，即每一点给了不共线的两个向量e1 和e2，还给了一个微向量

其中，dx1、dx2 是坐标的微分，这个微向量的长度的平方应当是

如果把上式中的ei·ej=gij (i, j=1、2)，它们是坐标参量x1、x2 的函数。这样，上式就可以写成

其中，按i、j 从1到2约定求和。（即凡有上标和下标相同，就对于指标变量从1到它的上界求和。）

显然因为ei·ej=ej·ei ，所以gij =gji ，即gij 对于下标是对称的。它也称为度量张量或黎曼度量，有的情况下也称为度规张量。

在曲面上每一点给了上式，我们就能够计算曲面上任何两点之间的弧长进而也能够计算曲面上的其他度量性质，例如相交两条线的交角、闭曲线所围的面积等。实际上，关键是给了作为坐标参量x1、x2 函数的gij ，无需知道坐标架，e1 和e2。也就是说，我们只要知道了gij，就能够知道曲面内的一切度量性质。把对于二维曲面的这个思想推广到n 维流形上，就是黎曼几何。下面就将上式中的上下标的变化范围扩大到n。

图1的四幅图，是荷兰艺术家摩里茨·科奈里斯·埃舍尔画的《圆的极限》。每一幅都画在一个半径为单位的圆内。画面从中心一直到边缘，逐渐变小，以至无限小。这几幅图中都是充满对称的图案。这种对称就不再是通过平移转动和镜面反射能够使图形重合，而需要引进适当的变换使图形重合。其中的奥妙就是采用的度量为

也就是

图1 圆的极限

这样的二维黎曼空间，它的参数定义域是在一个单位圆内，这个圆称为庞加莱圆盘，是由法国数学家庞加莱首先引进的。有了度量就很容易求出空间的测地线（它相当于欧氏平面上的直线）。把测地线的参数变化画在圆盘上，然后根据测地线的轨迹去构图。第3个圆盘上的首尾相连的鱼就是沿着测地线画的。

德国数学家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) 是一位有多方面贡献的数学家。在哥廷根大学毕业后师从高斯攻读博士学位，于1851年以有关单复变函数的论文获博士学位。1854年，黎曼在哥廷根大学初次登台为了提升讲师，作了题为《论作为几何基础的假设》(Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen) 的演讲，开创了黎曼几何的历史。在这篇论文中，黎曼并没有用多少公式，其中列出的唯一重要的公式就是

图2 黎曼像

黎曼除在这篇论文开辟了微分几何的新领域之外，在数论、复变函数论、微分方程、数学物理等方面，都有非常重要的贡献。

正如平面可以看作曲面的特殊情形，当黎曼几何的度量张量的数值gii=1，gij=0（当i≠j 时)，黎曼几何就是通常的欧氏空间，亦即欧氏几何。

最早黎曼提出黎曼流形时

中关于dxi 的二次型是正定二次型，这是由于式左边是微弧的平方，不管在什么条件下都是正的。后来人们考虑此式不一定要求是正定的，这时这种空间就称为伪欧氏空间。在狭义相对论中，定义时空距离为

其中，c 是光速，t 是时间。这就是一个伪欧氏空间。易于验证这个式子是在洛伦茨变换之下的不变量。

顺便提一句，当二次式

不一定是正定的，而且后面还有dxi 的一次项时，这种空间就称为芬斯拉空间 (Finsler Space)，研究它的学问就称为芬斯拉几何。我国数学家苏步青是芬斯拉几何的专家。

在牛顿的《原理》出版后的101年，也是法国大革命的前一年，即1788年，却在法国出版了一本不含几何推理也没有任何几何插图的力学书，这就是J.L.拉格朗日 (Lagrange) 著的《分析力学》, 这本书的出版标志了力学发展进入一个新阶段。

标志拉格朗日的新阶段，是他用统一的方法处理带约束的力学系统。所谓分析力学，实际上可以看作约束体系的力学。

他首先引进可以完全描述力学系统状态的有限个参数，采用拉格朗日的符号，记为qj (j=1,2,···,n) 称为广义坐标，后人也称为拉格朗日坐标。其次，他在系统运动时计算系统的动能T，用

的函数来表示，即

我们把上式与后来黎曼引进的微弧长式对比

发现除了前面差一个1/2的系数外，完全是弧长对于时间微商平方的表达式。把这个空间的微弧长记为

拉格朗日以

表示作用量，使I 最小的qj((t) 便是真实运动。拉格朗日称之为最小作用量原理，由此可以得到不受外力时的运动方程。这个极值条件，也可以换一种提法，即考虑相空间短程线，即

（s1、s2 是相空间中的两点）取极小值的条件，根据变分原理，就可以得到真实运动必须满足方程

这里Qj 是作用力在广义坐标中的表达式。当它们为零时，即不受外力的条件下，运动路径就是黎曼空间中的短程线。如果将Qj 表为qj 的函数，且是有势力的情形，即

这时若令L=T-U，则有

这个方程称为第二类拉格朗日方程，函数L 是S.D.泊松引进的，称为拉格朗日函数。

上式中如果Qj=0，则它的解就相当于使以T 为黎曼度量的短程线。在欧式空间中不受外力的质点运动轨迹是直线。而有约束的力学系统在黎曼空间的运动轨迹是黎曼空间的测地线。

上式表示，如果以L 为黎曼度量，则该力学系统在这种空间的运动轨迹是L 度量之下的短程线。因为这些微分方程都是相应的作用量取极值条件下的解。

我们可以看到，分析力学中引进的广义坐标实际上是最早高维空间的概念。后来黎曼引进了黎曼几何、黎曼流形，他的度量二次型实际上就相当于拉格朗日引进的动能的表达式。这才对力学上的广义坐标给了一个比较深刻的解释，所以也可以说，分析力学是流形上的力学。拉格朗日使力学摆脱了古典欧氏几何的束缚，但并没有使它永远脱离几何，而是使力学与更高层次的几何——流形几何或现代微分几何联系在一起。

总结以上的讨论，当给了一组广义坐标，或者用几何语言说，给了一个n 维流形，在流形上定义了一个正定二次型

那么，就定义了一个动力系统

这样我们就把拉格朗日动力系统完全归结于一种几何问题：一个运动的轨迹，对应于流形上的一条曲线。

来源：武际可科学网博客，作者：武际可。