旋转机械分析—— 阶次分析

beatylady

阶次分析一直是旋转机械振动噪声分析中的重要环节，它不仅可以用于旋转机械的故障诊断，还可以用来从各种复杂的信号中分离出所关心的信号进行定量分析。

基于时域FFT的阶次分析

阶次（Order）的定义其实非常简单，即旋转部件的频率和转速的比值，具体公式如下。

例如，对于一个600rpm的旋转部件，10Hz的信号对应着部件的第1阶，20Hz的信号对应着部件的第2阶，以此类推并得到了旋转部件的各个阶次结果。

从阶次的定义中我们不难看出其本质还是信号的频率分析，只不过此频率成分不是一个固定的成分，而是一个会随着转速变化而变化的频率成分。

对于旋转部件来说，阶次还可以形象理解为一种现象随着旋转部件的转动发生的次数，每转一圈这种现象发生几次就是几阶。举例说明，一个旋转的风扇，其叶片数量是5，那么风扇每旋转一圈对于某一固定点处噪声或结构某一固定点处振动将产生5次峰值，分别为5个叶片的激励，这种由叶片引起的振动噪声所对应的阶次即为第5阶。

既然阶次分析即为频率分析，那么是否有人会觉得非常简单——只要拥有信号的频谱结果和此其对应的旋转部件的转速，即可得到旋转部件所对应的阶次分析结果。事实也的确如此，工程上对信号进行等时间采样并进行FFT（快速傅里叶变换），并结合所测到的转速，来进行阶次分析和阶次提取已经存在多年，该方法无需任何复杂的计算，效率非常高。

但是此方法只适用于稳定转速或者转速缓慢变化工况下的阶次分析，当转速变化速率比较快时，传统的基于等时间采样信号的FFT分析结果就会出现所谓的“频率模糊现象”（Smearing）。有图有真相，下面我们先举个简单的例子来说明一下什么是“频率模糊”。

现有一个转速10秒内由0上升到9000rpm旋转机械，为了方便对比，假定其只产生1倍频噪声信号，且该1阶成分在整个转速变化区间内保持不变，一直为1Pa（94dB）。下面对其噪声信号分别进行频域分析和阶次跟踪分析，转速跟踪分析步长均为200rpm，分析参数如下：

我们先取其中分析步长1200 rpm的信号进行观察：

1200rpm 时域FFT分析结果

首先看频域分析结果。从左图时间信号中，我们肉眼可看到在1s的时间内，其信号变化速度逐渐变快，也就是信号频率逐渐上升。实际上，在这1s时间内，其转速从750 rpm变化到了1650 rpm，变化了900 rpm，1阶成分所对应的频率从12.5Hz变化到了27.5 Hz。因此造成在FFT的频谱结果中能量分布在12.5 Hz~27.5 Hz的一个频段内，对应到阶次，发现1 Pa的能量被分布在了0.625~1.375 order范围内（至于为何在1 order附近的频段内中间能量高两边能量低，这只是由于汉宁窗的影响）。

然而，真实情况是：在整个转速变化中，频率成分一直都是转速的1倍频，也就是1阶，其幅值应一直保持不变均为1Pa。这就是我们所说的频率模糊现象，其根本原因在于：基于等时间采样的FFT分析，不适用于变转速工况下的转速倍频成分的分析。

下面我们再来看阶次跟踪分析。阶次跟踪在做FFT之前，先将原始时域信号进行了角度域的等角度采样（具体原理我们将稍后介绍），如下左图中的角度域（转数域）分析块，可看到在整个分析块内信号变化周期均为1转（360°）。基于角度域信号进行FFT分析后，我们得到阶次域（转速倍频域）分析结果，可以看到信号能量精准的集中在1阶成份上，没有产生任何能量的分散。

1200rpm 数字阶次跟踪分析结果

在理解了时域FFT的频率混淆现象以后，我们需要考虑的是在什么情况下这种混淆现象比较严重，而什么情况下可以忽略，因为这涉及到我们在哪些场合下必须要用到阶次跟踪，而哪些场合下常规的时域FFT得到的结果精度就可以满足要求。因为在日常NVH工作中，毕竟最常用的还是直接进行时域FFT分析。

首先，我们给出通过阶次跟踪得到的阶次分析精确结果，如下图。为了方便对比分析，所有工况下、1~10阶各个阶次成分的幅值应均为1Pa。

数字阶次跟踪各阶成分分析结果

下面我们分别来分析对比不同阶次成分、不同转速变化速度下、以及不同转速下时域FFT所造成的频率模糊现象的程度。

不同阶次成分的频率模糊程度

我们在之前已经看到在10s从0加速到9000rpm的工况下，对于1阶而言，其能量分散到了0.625~1.375 order，那么我们下面看看其他阶次的情况。下图从左到右，从上到下依次是对2/4/6/10阶的FFT分析结果，从中我们可以看到阶次越高，频率混淆现象越为明显，误差越大。

不同阶次成分的频率模糊现象

此外到10阶，其能量甚至被分散到了7阶~13阶，因此并不仅仅影响其自身的分析精度，而且势必造成所有各主要阶次之间的相互影响。这种阶次间的相互影响程度与转速高低有关，我们会在“转速高低的影响”部分再进行讨论。

不同转速变化速度的对频率模糊程度影响

下图从左到右，从上到下分别是转速变化速率为100rpm/s，150rpm/s，300rpm/s和900rpm/s，对应90s，60s，30s和10s从0加速到9000rpm的工况，通过时域FFT分析得到的结果。从中可以看出加速过程越慢，一个时间块内各阶次对应的频率变化越小，因此得到的阶次分析结果的误差也相对越小。

不同转速加速度下的频率模糊现象

不同转速下的频率模糊程度

下图分别为10阶成分在1000/2000/4000/6000 rpm时的分析结果，可以看到随着转速的上升，因为在1s时间块内所对应的频率变化区间是恒定的（转速变化速率恒定），对应的阶次变化区间则会越来越窄（因为转速越来越高），尽管峰值幅值（能量分散程度）并没有任何变化，但需要关注的是阶次之间的相互影响。转速越低，阶次间的干扰现象越明显，而转速越高，阶次间的干扰影响越小。

10 阶成分在不同转速下的频率模糊现象

为了进一步说明阶次之间相互影响的重要性，我们再考察转速变化速率为300rpm/s，即30s从0加速到9000rpm的工况，不同转速下的FFT分析结果。从左到右，从上到下分别为1000/2000/3000/6000rpm的分析结果，我们可以看到在1000rpm时，各阶次之间的相互干扰的影响甚至超出自身频率模糊的影响。

不同转速下各阶成分频率模糊现象的相互影响

频率模糊程度的影响因素小结

基于以上的对比分析，我们可以得到如下结论：
1）转速变化速度越快，时域FFT分析的结果误差越大；
2）分析阶次越高，时域FFT分析的结果误差越大；
3）关心的工况转速越低，阶次越高，各阶次之间的频率混迭影响越明显，其造成的误差越大。

因此，如果用时域FFT进行阶次分析，一定要关注是否有高阶次成分需要分析，转速变化速度是否太快，以及对于低转速的阶次分析精度是否有较高要求这三方面。

以汽车行业应用举例而言，如果仅是对于发动机主要阶次成分，往往基于时域FFT的阶次分析精度可以满足常规工况要求。但是对于转速变化较快（如WOT工况）的情况，最好使用阶次跟踪技术。此外，对于存在高阶成分的NVH分析，如变速箱、后桥差速器等阶次分析则通常需要使用数字阶次跟踪技术。

时域FFT的阶次成分分析（阶次切片）

在不采用阶次跟踪，而直接用常规时域FFT进行阶次成分分析时，考虑到频率模糊现象所造成的能量分散，因此往往需要取阶次周边的一个频段的能量和来表征这个阶次成分的能量，频段的选取通常有如下4种方式，分别举例说明：

  · 固定频率带宽（Frequency）：如定义10Hz的固定频率带宽，则对应以当前阶次频率为中心频率的10Hz频率带内的RMS值作为该阶次的能量表征。

  · 固定谱线数（Lines）：如对于频率分辨率为1Hz的分析结果，定义10根固定谱线数，则所得到的阶次成分与上述10Hz固定频率带宽的结果一致。

  · 固定阶次带宽（Order）：如定义0.5阶的固定阶次带宽，即取相应阶次为中心阶次，±0.25阶范围内所有谱线结果的RMS值作为该阶次分析结果。因此，这种方法，实际上转速越高，其所对应的频率带宽会越宽。

  · 固定阶次百分比（%）：如定义20%的固定阶次百分比，对于1阶成分，则带宽为0.2阶，对应1±0.1阶；而对于10阶成分，则带宽为2阶，对应10±1阶。阶次越高，对应带宽越宽。

首先，如果出现较为严重的阶次之间的相互影响（转速变化太快/关心高阶次/低转速），显然无论采用上述哪一种方法，那么阶次成分的计算结果都会产生很大的偏差。

因此，我们此处所讨论的几种方式的对比是基于缓慢的匀加速工况，阶次间相互比较独立的前提条件。对于匀加速工况，在每个分析步长内各阶次所对应的频率变化区间是恒定的（转速变化速率恒定），因此实际上对于每个阶次，分别选择合适的固定谱线数或频率带宽，能够更准确地对各阶次成分随转速的变化情况进行分析。

我们以90s加速到9000rpm的数据为例，频率分辨率1Hz对应每次分析的时间块长度为1s，在这1s内转速变化了100rpm（即1.67Hz≈2Hz），对于每个阶次而言，无论是哪一个转速工况，其能量分散的频段相同。如对于2阶则应为1.67×2≈4Hz，对应谱线数4条。下图说明了9阶成分对应的频率带宽，应为1.67×9≈15Hz，或对应谱线数为15条。

时域FFT三维频谱（左）及 9 阶成分在不同转速下所对应频率带宽不变（右）

但是根据频率带宽进行设定，需要根据转速变化的速度，对不同的阶次分别计算其应当对应的频率带宽或谱线数，对于工程应用而言相对比较繁琐。因此有另外一种选择方式，即直接定义阶次带宽或阶次百分比。但实际上，从下图中可以看到，时域FFT得到的阶次结果，转速越低，对应到阶次域的能量分散越明显，而转速越高，能量越集中。因此，这两种固定阶次带宽的方式得到的结果精度显然不如固定频率带宽的结果。

时域FFT三维阶次谱

然而，在工程上为了方便，经常使用这种方式直接进行阶次成分的带宽定义。两种方式相对比而言，定义阶次百分比显然要比固定阶次带宽的结果更严谨一些，因为越高阶成分的能量分散越明显，对应的阶次域带宽也越应当越宽，但同样因为阶次百分比的概念相对不容易理解，而且通常也需要对不同的阶次设定不同的阶次百分比，所以也并不常为工程人员所用。

在汽车行业，工程上经常使用的方式是直接定义0.5阶的阶次带宽，这是因为一方面简单，另一方面在考虑到不影响发动机半阶成分分析的前提下，尽量放大带宽，以使得高阶成分的分析结果能够尽量准确。

基于时域FFT的阶次分析我们就先聊到这里，下面我们进入数字阶次跟踪的部分，主要通过与数字阶次跟踪相关的1）角度域重采样；2）转速脉冲数是否重要；3）抗混叠滤波；4）窗函数的选择以及5）阶次切片这五方面予以介绍。

（一）角度域重采样

如何应对时域FFT存在的问题和挑战呢？基于角度域的数字重采样技术应运而生。关于这一块的内容很多文章进行过介绍，不仅对它的工作原理进行了详细阐述，而且对它相对等时间采样的优势也进行了很多分析，所以我只是在这里简单提一下，如果大家比较感兴趣可以搜索出很多相关文章。

数字重采样技术是利用等时间采样的信号和转速信号进行的一系列数字转换技术，其目的是将等时间采样的信号转换成等角度采样的信号。其首先利用转速信号计算出时间和角度的关系，其次再将时间域信号转换到角度域信号，最后再对角度域信号进行FFT（快速傅里叶变换）分析得到阶次谱，其计算流程可简化成如下示意图。

角度域数字重采样流程示意图

讲到这里大家可能会有疑问，如此大费周折的进行转换其意义到底在哪里？说到这里我们要回到上面分析中的中间结果角度域曲线上，当我们对它进行FFT分析时，数据块长度一般会取整数圈P，每圈360度以内采样的点数是恒定的，用字母M代替。根据角度域的采样定律，阶次域的最大分析阶次OMax和阶次分辨率ΔO相对角度域的P和M的关系就可以确定，即OMax=M/2和ΔO=1/P。M这个数值在等角度采样里面是一个恒定值，P是在做FFT之前就需要确定下来的一个数值，这样一来，不管转速快慢阶次高低，所得到的结果具有恒定的阶次分辨率和确定的最大分析阶次，如下图所示。

角度域与阶次域关系示意图

说到这里感觉问题已经解决了，基于角度域的数字重采样完美的解决了等时间采样阶次带宽不恒定带来的种种问题，确保分析结果较好的阶次分辨率，这样工程问题中的信号才好确定属于什么阶次的问题。但是其实际分析中会遇到种种新的挑战，每一种挑战都需要经过严谨的思考才能得到一个较理想的阶次结果，接下来就针对实际分析中的种种挑战进行一下讨论。

（二）转速脉冲数是否重要

经过前面的理论阐述，我们可以看到经过数字重采样的角度域曲线横坐标是等角度的，其角度间隔Δa到底由什么参数决定呢？此参数决定我们阶次域的最大分析阶次，所以非常重要。很多人经常听到的概念就是每转脉冲的一半就是最大分析阶次，例如我们选择齿轮测量转速信号，齿轮有多少个齿就决定着每转会有多少个脉冲，所以最大分析阶次就是齿数的一半，同时角度间隔Δa当然就等于360度除以齿数。这种说法其实本身没有什么太大的问题，但是它忽略了数字重采样中的抽样和插值问题，齿数的多少是物理角度分辨率的概念，并不是说发出一个脉冲就在这个时刻取一个采样点，通过数字抽样和插值运算可以将角度分辨率调整到任意参数，如下图所示。实际测试中由于采样率比较高，每转一圈按照等时间采样的点数是相当多的，数字重采样的目标只是将每转一圈里面等时间采样的信号通过抽样和插值的方法调整到等角度采样。

角度分辨率示意图

讲到这里，大家是否会立刻闪现出一个念头，在每转只有一个脉冲的情况下也能做阶次分析吗？例如得到10阶、20阶等阶次结果？答案是肯定的，以下是一个10阶的标准正弦振动信号，幅值是1g，在每转只有1个脉冲的情况下分析的阶次结果。

转速脉冲速率1 pulse/rev 下的阶次分析结果

(三) 抗混叠滤波器

大家可能都知道在等时间采样中有一个问题叫混叠，就是当采样率不够高的时候，高频的信号会在低频内产生干扰。例如采样率为100Hz的时候，如果信号中有70Hz的成分，那么它的能量会在30Hz处显示出来，这就是时间域的混叠问题，混叠的规律就是以采样率的一半50Hz为对称轴进行混叠。那么角度域是否同样会产生混叠问题呢？也就是说重采样之后的角度域曲线中存在高阶次的成分，此成分大于最大分析带宽Omax，那么是否会在Omax以内产生一个干扰的阶次成分？答案同样是肯定的，角度域也存在混叠的概念，以下信号为两个单阶次（10阶和40阶）信号合成的信号，在经过角度域重采样的时候选择的角度分辨率是6°，由此可知最大分析阶次Omax=360/6*2=30。当我们使用抗混叠滤波器时分析阶次带宽以内（30阶以内）只会出现10阶的振动成分，但是当不使用抗混叠滤波器时分析带宽以内会出现一个不存在的振动成分20阶，其就是40阶的振动成分混叠所致，规律同样是以阶次带宽30阶为对称轴进行混叠。

抗混叠滤波器开关阶次分析结果对比

混叠的问题肯定要通过滤波器来解决，也就是上图中提到的抗混叠滤波器，通过过滤掉最大分析阶次Omax以上的阶次成分，这样就能确保分析阶次带宽以内的信号的准确性。但是实际情况是任何滤波器都不是理想的滤波器，角度域抗混叠滤波器也不例外，在滤波截止阶次80%-100%区域内由于受到滤波器的影响，其信号的幅值是不准确的，受到滤波器的影响幅值有所衰减，越靠近截止阶次，幅值衰减越严重。以下是在Omax=30的情况下存在两个幅值为1g的阶次成分（26阶和28阶）时的阶次谱结果，可以看到两个阶次的峰值都不再是1g，28阶的幅值要比26阶更低。解决这个问题的办法就是让我们的最大分析阶次Omax不在等于每转重采样点数的1/2，而是1/2.56即可。也就是说当我们进行完角度域重采样之后的角度间隔是Δa，那么我们能够得到的准确的分析阶次带宽Omax=360/(Δa*2.56)

实际抗混叠滤波器效果

（四）窗函数的选择

大家都知道等时间采样信号做FFT分析之前都需要加窗来解决能量泄露问题，等角度采样信号做FFT分析之前是否也需要加窗函数来解决能量泄露的问题呢？有一种比较流行的说法是旋转机械产生的信号是周期性的，所以等角度重采样之后的信号具有周期性，因此做FFT分析时取下的数据块不需要加窗。这种说法的前提条件是假设阶次分辨率的倒数1/ΔO正好是整数，此时FFT分析取的数据块正好是1/ΔO圈的数据，具有周期性，不需要加窗。但是当1/ΔO不是整数时，那么取下来的数据块就不是整圈的数据，例如取了1.1圈（396度）的数据做FFT分析时数据不具有周期性，同样会出现泄露的问题，需要进行加窗处理。

以下是一个幅值为1g的10阶振动信号在阶次分辨率ΔO取0.2和0.16时的分析结果，可以看出，当ΔO=0.2时，1/ΔO=5，取5圈的数据做FFT分析，具有周期性，没有泄露问题产生。当ΔO=0.16时，1/ΔO=6.25，取6.25圈的数据做FFT分析，不具有周期性，幅值不准和峰值宽度加宽，泄露问题产生。可以看到在接下来的图片中对ΔO=0.16时进行汉宁窗（Hanning）处理，其幅值准确性得到很大提升，几乎接近1g。因为不同的窗函数对阶次分辨率和幅值精度影响不同，汉宁窗是一种既有较高幅值精度，又有较高阶次分辨率的窗，所以被广泛采用，如果想得到准确的幅值平顶窗（Flattop）比较合适，其结果会出现完全等于1g。

非整周期采样阶次分析误差

对非整周期采样阶次分析的窗函数修正

（五）阶次切片

阶次切片是指单一阶次的量级结果，对于定量分析某一阶次问题非常重要。对于量级差别不大，转速变化速率不大的情况下往往可以直接从阶次谱结果中提取阶次结果，定义好提取阶次的阶次带宽即可。但是当所关心的阶次结果量级不大，同时转速变化速率比较快时，直接从基于角度域的FFT阶次谱结果中提取阶次切片，其结果精度就无法保证了，原因是信号的瞬变性和超出处理的技术指标。此时卡尔曼滤波器是一个不错的选择，它有可能精确地跟踪那些隐蔽在杂乱噪声中频率快速变化的周期信号。卡尔曼滤波器一个重要特性是它的非平稳性，它的功能在高旋转速率下保持良好，因为系统的模型不是居于固定的时间频率分量的假定，而是自适应于系统本身的变化。对应记录（在用户指定的范围）内每一时域采样,自适应地导出系统模型的能力，使它摆脱了传统的时—频变换通常会遭遇到的时域和频率分辨率互相矛盾的制约。

以下案例中存在两个阶次成分，10阶振动的幅值为100g，11阶振动的幅值为1g，转速在2秒内从600RPM上升到6000RPM，实线为直接FFT计算结果，虚线结果为卡尔曼滤波之后的结果，可以明显看到卡尔曼滤波后的结果才能准确的得到11阶振动幅值为1g的结果。

数字阶次跟踪与Kalman滤波结果对比

impulse

“每转脉冲的一半就是最大分析阶次”这句话是错的。