弹性力学的“原子说”与“数本说”

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古希腊哲学家对世界本原的探索往往被视为近代科学的起源，在弹性理论的建立过程中，也能看到古希腊哲学思想的影子。其一是德谟克利特 (Democritus，c.460-c.370 BC)“原子说”，认为世界万物都是由各种各样不可再分的原子组成，原子之间充满了虚空；其二是毕达哥拉斯 (Pythagoras，c.570-c.495 BC) 的“数本原”，认为世界的“本原”为数，世界万物都依照一定的数学规则来构建和存在。

(a) 德谟克利特的雕像  原子说

(b) 毕达哥拉斯的雕像  数本原说

图1 德谟克利特与毕达哥拉斯

例如，虎克 (Robert Hooke, 1635-1703) 就认为材料都是由很小的微粒组成的，这些微粒通过“弹簧”相连（对原子论的虚空进行了改造），当材料被拉伸或者压缩材料时，“弹簧”会被拉伸或压缩，形成宏观上的材料变形，同时在材料内部（微粒之间）形成“反作用力”。显然，“微粒-弹簧”模型是在“原子论”的基础上建立的，很长一段时间内，人们考虑材料内部的作用力时都沿用了这一模型。

图2 固体材料的微粒与弹簧模型

由虎克定律可知，弹簧变形与所受力之间满足线性关系，而弹簧的性能可用一个常数来表示，如

这里，F 为力，△x 表示弹簧变形，k 表示弹簧的劲度系数。把材料假想为“微粒-弹簧”模型中，很显然材料的变形能力只与弹簧刚度有关。因此，当材料为均匀的、各向同性材料时，其弹性性能就只与“弹簧刚度”相关。换言之，弹性材料的弹性性能只需要一个常数就可以描述。

弹性理论的奠基人之一纳维 (Claude-Louis-Marie-HenriNavier, 1785-1836) 就是这一观点的支持者。纳维在推导平衡方程时，采用了“微粒-弹簧”模型，具体而言，他认为材料由分子组成的，分子由弹簧相连，因此材料也只有一个弹性常数，导出的弹性力学平衡方程如下

这里

上式中，C 就是材料唯一的常数。这一观点在弹性力学发展的早期为人们所熟知，除纳维以外，柯西、泊松、拉梅等人也都是这一观点的支持者，都在努力证明各向同性材料的弹性变形只需要一个弹性常数来描述。

例如，柯西给出了应力、应变的概念，并指出一点处的应力可以由6个独立的应力分量来表示，同时应变状态也可以用6个独立的应变分量来表示，建立应力与应变之间的关系，引入了36个常数，如：

柯西指出根据分子理论假说，36个弹性常数可减少到15个。特别地，对于各向同性材料，只需要一个弹性常数就可以表示出应力-应变之间的关系。

现在我们知道，对于各向同性材料，除了弹性模量E，还有另外一个材料常数泊松比μ，泊松比是泊松根据托马斯·扬 (Thomas Young, 1773-1829年) 的一项实验观察而得来的。1807年，托马斯·扬在他的自然哲学和机械艺术讲义 (Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts) 中提到：

We may easily observe that if we compress a pieceof elastic gum in any direction, it extends itself in other directions; and ifwe extend it in length, its breadth and thickness are diminished.
我们可以很容易地观察到，如果我们在任何方向上压缩一块弹性树脂材料，它向其他方向扩展；如果我们拉伸它，它的宽度和厚度都会减小。

不过，托马斯·扬只是提到了材料在加载时，出现横向效应的现象，并未对这一现象进行深入的研究，只是将其称为“拉伸-压缩比”。1827年，泊松 (Siméon Denis Poisson, 1781-1840) 在研究材料的“拉伸-压缩比”时认为，对于由中心力紧密结合在一起的分子组成的固体，所有材料的横向变形比率都是一个常数1/4，该常数不因材料不同而改变，是所有固体材料的共同性质。

在这一指导思想下，他推导了材料剪切模量，假定材料的弹性模量为E，则剪切弹性模量为

在材料力学和弹性力学教材中，剪切弹性模量被描述为

可见，泊松得到的剪切模量表达式是正确的，但是把μ 视为常数1/4是错误的。他的同事Charles Cagniard de la Tour (1777-1859) 对黄铜的拉伸-压缩比开展了一系列的研究，发现该比值与1/4有较大的差别，而是更接近于1/3。为了讽刺泊松理论的缺陷，Charles Cagniard de la Tour将“1/4拉伸-压缩比”冠以“泊松比”之名来挖苦泊松。令人意外的是，1850-1870年之间，随着人们对各种材料泊松比的测定，泊松比在工程领域的应用越来越广泛和重要，泊松比这一概念也渐入人心，成为与弹性模量并驾齐驱的重要材料常数。

图3 多种材料的测试使人们坚定了泊松比的概念

然而，虽然泊松比在工程上被广泛接收，但在理论体系上，由于“微粒-弹簧”模型中只有“弹簧”影响材料的变形，人们还不能建立起除“弹簧刚度”之外的弹性系数。为了弥补这种不足，1839年，乔治.格林 (George Green, 1793-1841) 在《关于在两个非晶体介质的公共面上光的反射和折射的定律》(On laws of the reflexion and refraction of light at the common surface oftwo non-crystallized media) 一文中给出了有关弹性材料的连续模型。

首先，他放弃了分子之间的相互作用的假定（去掉了弹簧），认为原子之间充斥着以太（古希腊哲学中的第五元素，充斥在宇宙之间）。然后，假定以太的特性服从于能量守恒，建立了弹性力学的连续介质模型。格林指出：

“无论按什么方式，任何物质组成的元素彼此之间会产生相互作用，如果所发生的全部内力乘以它们各个方向的元素，对于任何制定部分的质量总和将永远为某一函数的恰当微分。”

例如，设Φ 为格林函数，利用达朗贝尔原理和虚位移原理，可以得到没有外力作用时运动方程

格林认为函数Φ 可表示为6个应变分量的二阶其次函数。在最普遍的情况下，格林函数Φ 包含有21个系数，这些系数决定了材料的弹性。同时，采用上式可以得出三个方向的运动方程（平衡方程为惯性项等于0）。换言之，由格林函数导出的平衡方程，在一般情况下有21个常数。在各向同性材料中，函数Φ 可以大大简化，可证明相应的平衡方程只需要两个弹性常数，这就与纳维、虎克等人提出的一个弹性常数有了显著的区别。

格林的论文很快就引起了弹性力学的一场论战，形成了两个观点鲜明的学派，一派坚持虎克、纳维、柯西等人的“微粒-弹簧”说，他们用15个常数来确定一般材料的弹性性能，并用一个常数来确定各向同性材料的弹性性能；另一派则支持格林的观点，用21个常数和2个常数来确定一般材料和各向同性材料的弹性性能。

人们意识到唯有精确实验才能消除这种争论，这又引发了更多的物理学家和力学家更加重视实验来测定各种材料的弹性常数。在W.Wertheim (1815-1861)，A.T.Kupffer (1799-1865)，Franz Ernst Neumann (1798-1895)，GustavRobert Kirchhoff (1824-1887) 等人努力下，人们渐渐明确了各向同性材料需要两个弹性常数来确定，而无法用一个常数来确定，并最终否定了“微粒-弹簧”模型，并正式引入了连续性基本假设。在后续的发展中，由格林所提供的方法出发，从考虑应变能所推出的应力-应变关系被认为是有效的，这个方法至今仍在使用。

从纳维的分子模型到格林函数的提出，也是弹性力学由“原子说”向“数本原”的转变，用数学来描述世界也是力学工作者的目标之一。在引入连续性基本假设之后，弹性力学也由离散模型走向连续介质模型，这样数学中连续函数所取得的理论成果，就成了描述弹性力学理论体系的重要理论工具。

参考文献：

[1] https://enterfea.com/fun-story-of-hookes-law/

[2] 铁木辛柯《材料力学史》

[3] G. Neville Greaves.POISSON’S RATIO OVER TWOCENTURIES: CHALLENGING HYPOTHESES. Notes Rec. R. Soc. (2013) 67, 37–58.

[4] https://matt-hall-m05q.squarespa ... mp;category=Science

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。