振型分解反应谱法

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在结构设计时，确定好结构的计算模型后，首要任务是进行荷载汇集，得到结构的荷载，以便进行结构的内力分析。对于抗震设计而言，同样首先得确定地震作用。我们已经知道，单自由度体系的地震作用的计算公式为

其中，G 为质点的重量；α 为地震影响系数曲线。可根据结构的周期，查阅下图确定。

对于多自由度体系，如结构第i 层的重量如果为Gi，那么，第i 层的地震作用，能否也用下式来计算？

肯定不行的，原因在于：

  · 地震作用的实质是惯性力，因此，第i 层的地震作用的计算公式应为

其中 为质点i 的加速度。对于多自由度体系，第i 层的加速度不是独立变量，必然与其它层的响应有关联，因此直接用下式来计算地震作用错误。

  · 由于地震影响系数α 为结构周期的函数，对于多自由度体系，有多个周期，选择哪个周期来计算是个问题。

为了利用与单自由度体系相类似的方法来计算地震作用，我们引入了振型分解反应谱法 (Mode Decomposition Response Spectrum Method)。

根据振型的正交性，以结构的振型为坐标轴，可以将空间中任意一点的用振型来表示，当然{1}这个向量可以用振型来表示，即

其中，ai 为振型坐标。ai 的数值到底是多少呢？上式左乘{φj }T[M]，得利用振型的正交性，可得到

因此

大家揉揉眼睛仔细看看上式中等号右边这一项，是不是有点似曾相识呢？对了，是振型参与系数 (Modalparticipation factor) γj。可见，振型参与系数与振型相乘后再求和，得到的即为{1}向量，即

上式在推导振型分解反应谱的计算公式中，起到了关键作用。

我们再回到结构响应上来，如把结构的加速度响应用振型来表示，则第i 层的结构加速度可表示为

其中，γj 为第j 振型的参数系数； 为阻尼比为ξi 、自振频率为ωi 的单自由度体系的地震加速度反应；φji 为第j 振型在第i 质点处的数值。

根据式

地面运动的加速度可以表示为

第i 点的惯性力应该用下式计算：

将式

代入

可得到

质点i 的第j 振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即

由地震反应谱的定义，可将质点i 的第j 振型水平地震作用表达为

进行结构抗震设计需采用设计谱，由地震影响系数设计谱与地震反应谱的关系式可得

其中，Gi 为质点i 的重量，αj 按体系第j 阶周期计算的第j 振型地震影响系数。

来源：建筑结构抗震微信公众号（ID：SeismicDesign）