力学科普之：场论基本框架概述

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质点并不是物质唯一的数学模型，有些科普书或教材可能已经告诉过你这么一句话：物质的形态有实物粒子和场两种。质点这种模型，无疑是把物质当成纯粹的实物粒子来看待，而物质的另一种形态“场”就要改用场论来处理了。电磁场、引力场等概念或许已经让你对场已经有了点感性的认知，但理论物理是要讲数学的，场区分于实物粒子（或者说是质点）具有什么数学表现？这就是本文所要讲述的主要内容。

质点力学和场论，可以说是力学的两种不同的“设置”。什么意思呢？一个形象的情景可以帮助你理解这个问题。想象地面上有只老鼠在跑，你通过观察和测量可以得知老鼠在哪个时刻位于哪里，每一个时刻都必然而且只对应一个位置，因而在数学上可把位置表述为时间的一个函数（如果对这个说法感到迷惑，请翻翻你的中学数学课本，那里面已经告诉过你：函数是一种对应法则，把在一定范围内取值的自变量的任意一值对应到函数值——用术语的说法，函数就是映射，这在中学已经讲过，只是你很可能在应付考试的过程中已经忘了这个定义）。物体在“每个时刻”具有一个特定的“位置”，这就已经是质点力学的设置所在了。

看到这你可能反应不过来，这不是习以为常的事情吗，怎么就成了质点力学和场论的区别所在？那么，场论框架下的情形是这样的：老鼠依然在地上跑，但这回，我用一条很大很大但很轻的毯子铺在整个地面上，并盖住老鼠。这时，我们会有另外一种描述：整条毯子上任何一个部分，在任何一个时刻都有一个离地面的高度，如果老鼠在某部分的底下，这个部分就会鼓起来，其他没有老鼠的地方则会贴在地面上。这时，通过观察和测量，我们可以得知毯子的哪个位置在什么时刻鼓起了多高，还是贴在地面。这在数学上表述为，毯子离地的高度是以时刻和位置两者共同作为自变量的一个函数。说成大白话就是，整条毯子的“每个部分”在“每一时刻”具有一个特定的离地高度——这就是场论的设置。

地面是个二维曲面，所以这是个二维场，只要你有点想象力，你立即可以推而广之，想象一三维空间中的场，它在任何时刻都弥漫在整个空间中而不是集中于某个特定的位置，而是每一个空间位置在每一个时刻都有一个值，例如静电场就是指任何一个空间位置在任何一个时刻都有一个电势值，重力场就是任何一个空间位置在任何一个时刻都有一个重力势，这就是场的情景。很容易想象，即便盖上毯子，照样可以得知老鼠的跑动情况，所以说质点力学和场论实际上就是两种不同的设置而已。在质点力学中位置是时间的函数，在场论中场量是位置和时间两者的函数。也就是说“空间位置”这个东西，在质点力学中其地位是时间的函数，而在场论里则“降格”成了和时间一样的自变量，这就是质点力学和场论在数学表现上的差异。

在场论框架下，作用量和拉格朗日函数就不再是先前的那种形式了。先前什么东西都是时间的函数，所以拉格朗日函数带有能量的单位（因为等于动能减势能），但这回，空间位置进来插了一脚，它也变成了参量，这时拉格朗日函数就必须还要对空间进行微分了。这种微分的结果是什么呢？拉格朗日函数是作用量对过程的微分，意思就是单位过程内作用量的积累。依照这个思路，拉格朗日函数对空间的微分，就是指单位体积内里的拉格朗日函数。而“单位体积内”这五个字具有一个十分耳熟能详的惯称——密度。所以在场论框架下，拉格朗日函数变成了拉格朗日量密度，而作用量的表达式则变成：S=∫LdVdt ，这里的L 不再是具有能量单位的拉格朗日函数，而是其密度。值得说明的是在正规的书上，质点力学的拉格朗日函数一般以平常印刷体的大写L 标记，而场论中的拉格朗日密度则写成花体的大写L。这样，作用量本身依然是先前所谓的作用量，但哈密顿原理的形式改变了：它所谓的“最短路径”已经不能想象成某条“线路”，而是整个空间中的场随着时间发生变化，拉格朗日密度这个量随着空间区域和时间两者积累出来的量取极值。不过由于取极值的这一特点的缘故，作用量取极值也会意味着拉格朗日密度“时时”及“处处”都要取极值。

由于质点力学也可以定义空间平移对称，所以虽然场论将空间位置变成了参量，但对称性依然如故，没有什么好赘述的。不过守恒和Noether 定理会由于场论中要改用“密度”说事而发生些许变化。质点力学中物体的运动，在场论框架下会成为“流”。这个怎么理解呢？你可以想象水面上一个小木块在随波逐流，如果我们不去看水只盯着木块，也可以观测木块的运动，而如果将水也纳入视野，我们就会看到木块的运动背后的成因是“水流”。再想象把木块粉碎成木屑再撒在水面上，我们就更容易想象出这是一种“流”，而粉碎这一操作恰恰就是“对空间微分”——你看，质点力学中物体的运动，在场论中自然而然的化作了“流”。这样，之前物理过程中能量守恒啊，动量守恒啊这些守恒，在场论框架下也就变成了能量密度、动量密度等等“密度”量在场区内部流动，而总体上总保持守恒的“守恒流”，就像大街上的人来来往往，任一地点的人的密度（即单位地皮上的人数）都在随着人的流动而变化，但除去妇产科和殡仪馆之外，总人数是不变的一样。值得一提的是，Noether 定理往往以这种形式而不是以质点力学的方式出现。

来源：CubicL的基础力学教学科普微信公众号（ID：CubicLME）