结构动力学中的阻尼(2) —— 几种常见形式

不远的将来

上文介绍了结构动力学中阻尼的基本概念，并给出了其完备形式及其缺陷。本文将介绍阻尼的几种常见形式，以及各自的适用范围。

结构动力学中的阻尼(1) —— 基本概念

讨论前提一句，有关阻尼的名称在不同场合比较混乱，尤其是阻尼和阻尼比经常混用，在应用的过程中需要特别小心处理。

单元阻尼(Element Damping)

针对弹簧-阻尼系统，或者说弹簧单元，我们可以建立单元阻尼。这类阻尼可以说是我们最为熟悉的阻尼形式；但在动力学分析中，它有很多局限性，并且不是最常用的形式，后文会对其做比较详细的讨论。

对于单向弹簧，弹簧通过刚度k和阻尼c描述，这就是最基本的单元阻尼模型，也非常容易理解；相应地，弹簧阻尼系统的阻尼模型参数是相对容易测量的。

需要指出的是，使用这类阻尼，可以添加与速度平方相关的非线性项。

考虑更一般的单元，对于一个两节点的单元，每个节点有6个自由度，阻尼矩阵则可通过12*12的方阵描述；这也是单元阻尼的一种形式；显然，这类阻尼的参数测量是非常困难的，使用场合也比较少。

模态阻尼比(Modal Damping/Modal Damping Ratio)

先看一个单自由度弹簧-阻尼系统的自由振荡：

我们把阻尼定义为一个周期衰减的比例；事实上，定义其按照指数衰减

对于小阻尼情况下，每个周期的衰减约为

这里的定义为阻尼比，与系统的固有频率有关，因此系统动力学方程可改写为：

对于多自由度系统，可通过模态叠加法解耦。

对于无阻尼系统，通过振型矩阵坐标变换可将多自由度系统解耦，实现多个单自由度系统的独立求解，最后进行模态叠加。

对于小阻尼系统，我们同样希望通过类似的方法进行分析。遗憾的是，对于通用的阻尼矩阵，它并不满足类似质量和刚度矩阵的相关正交条件，即该方法是行不通的！

为了适应模态叠加法，我们设计一种阻尼的描述方法，假定阻尼矩阵可满足正交条件，对应模态质量和模态刚度，解耦后的阻尼记为“模态阻尼”，类似阻尼比的计算，得到不同模态下的“模态阻尼比”。

不同的模态对应不同的模态阻尼比。

常值阻尼比(Constant Damping Ratio)

了解了模态阻尼比，常值阻尼比就容易理解了。

假设所有模态阻尼比都相同，为一个常值，这个常值就被称为“常值阻尼比”或“结构阻尼比”；结构动力学中应用最广泛的就是此种阻尼形式，通常取值0.01-005。

材料常值阻尼比(Constant Material Damping Coefficient/Ratio)

材料内部由于微观晶体微粒之间的摩擦而产生出宏观的能量消耗，是材料阻尼产生的原因。每个材料的常值阻尼比不同，可分别定义其材料常值阻尼比。

材料结构阻尼系数(Material Structure Damping Coefficient)

这里命名有点混乱，材料结构阻尼系数就是可以定义不同频率下材料的阻尼系数，取值为常值阻尼比的2.0倍。

瑞利阻尼(Rayleigh Damping)

瑞利阻尼也被称为Alpha-Beta阻尼，同样是一种设计出来的阻尼。

与模态阻尼比类似，为了适应模态叠加法，假定阻尼矩阵可满足正交条件。考虑到振型关于质量矩阵和刚度矩阵是正交的，我们令阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。

可以证明模态阻尼比为：

阻尼系数对系统的影响，读者可以从上述表达式中自行分析。

实际上，在大多数工程问题中，质量矩阵的阻尼系数常常设定为0.0，则Beta阻尼与模态阻尼比的关系为：

瑞利阻尼的设定在数学形式上比较简洁，但物理意义并不明确，测量非常困难，常常通过模态阻尼比或常值阻尼比反算得到。

材料阻尼(Material -Dependent Damping)

不纠结命名，这里的材料阻尼就是不同材料的Alpha-Beta阻尼。

最后

本文罗列了一些常见的阻尼形式，其他一些非线性阻尼以及陀螺效应(形式上与阻尼类似)不在这里讨论。