球面声波的传播：球面波、脉动球、刚性球振荡及气泡声散射

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球面波 (spherical waves)

球对称声场，物理量仅为径向坐标的函数。如：

由质量守恒关系得：

由动量守恒关系得：

由质量守恒关系方程和动量守恒关系方程及关系p'=c2ρ 得：

由球坐标下：

可得相同结果。

球对称声波方程

解为：

向外传播的频率为ω 的简谐波可表示为

由前面结果可得压力脉动和质点速度的关系为：

球面波的声阻抗 (p'/u) 比平面波的要小。压力和速度为非同相位变化。当r 很小时，压力的相位领先速度90°，且

随着r 增大时 (c/ω)，压力和速度几乎同相，越来越接近平面波。

当计算对称球面波的声功率，可选择距球面距离较远的地方，而避免了不得不确定p' 和u 之间的相位差。

脉动球 (Pulsating Sphere)

假设在球表面a+ε(t) 上的径向脉动速度为ua(t)，由于表面振动产生的向外传播的声波为：

确定函数f，通过表面的动量守恒

确定声波为角速度为ω 的简谐波，则物理量将正比于 ，如

令，k=ω/c，由于表面振动产生的向外传播的声波方程可写为

对函数f，通过表面的动量守恒方程进行变换 ，得

由边界条件

得

因此，由球面脉动产生的声波为

无量纲表面声阻抗可定义为

  · 当ka>>1时，Z/ρ0c→1

  · 当ka<<1时，Z/ρ0c→ika=i2πa/λ=i 圆周长/波长

亥姆霍兹数 (Helmholtz number)He=ka

当ka>>1，(non-compact)

当ka<<1，(compact)

与声速无关，在表面p‘ 和u’ 相差90°，有 。如果球的体积变化为

有

刚性球振荡 (rigid sphere oscillating )

声波方程的其它解

可见 也是方程的解。

刚性球其中心沿x1 轴作小幅简谐振动。球的速度为 之实部。

在任意角度θ 处的径向速度为 。由简谐振动产生的声场可以表示为

由径向动量守恒关系得：

由边界条件，在r=a 有

当ka>>1，

其中

当ka<<1，(poor radiator)

散射(scatter)

在气泡表面压力平衡

气泡表面的散射为

共振散射 (resonant scatter）

气泡散射引起的声场，由前面结果

总的表面压力为

气泡表面张力T 的贡献2T/a。有气泡表面的受力平衡得

假设气泡内气体为理想绝热

由 得

以及

得

来源：节选自《工程学前沿》讲座课件