不倒翁、阿诺德猜想与冈布茨

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有个历史悠久的民间玩具叫不倒翁（图1），据考证早在唐代就已出现。不倒翁推之不倒，摇头晃脑的形象在民间被看成贪官的象征。明代江南才子徐渭有一首咏不倒翁的诗：

乌纱玉带俨然官，此翁原来泥半团；

忽然将你来打碎，通身上下无心肝。

这首诗不仅借物嘲讽了贪官，而且道出了不倒翁稳定不倒的关键是在空肚里塞进了半团泥。将不倒翁底部曲面的曲率中心视为支点，半团泥产生的效果是使重心下移。当重心移到支点下方时就形成一个复摆，不倒翁就能维持稳定不倒的平衡状态。如果将不倒翁翻转成头朝下的倒立姿态，只要将重心调整到与支点在同一垂直线上，倒置后的不倒翁也能平衡。但平衡极不稳定，轻轻一碰立即翻倒。因此不倒翁有两种平衡状态，一种稳定，另一种不稳定。

不倒翁的力学原理并不复杂，但与不倒翁有关的所谓“阿诺德猜想”却是一个数学难题。一般情况下，任何一个质量均匀的实心物体的稳定平衡状态都不是唯一的，不稳定平衡状态也是如此。比如一本书，正反两面搁在桌上都是稳定平衡。再比如一只铅笔，一头或另一头竖在桌上都是不稳定平衡。不倒翁不在此例，它只有唯一的稳定平衡和唯一的不稳定平衡两种状态。但不倒翁并非实心物体，不能成为反例。

图1 不倒翁

1995年，俄罗斯著名数学家阿诺德 (Arnold,V.I.) 提出：是否存在一种均质三维凸几何体，它的稳定平衡位置和不稳定平衡位置各只有一个（图2）。如果存在这种物体，称之为 “单－单静平衡体” (mono-monostatic body)。所谓“阿诺德猜想”简单说来就是：单－单静平衡体是否真正存在。

图2 阿诺德 (Arnold,V.I.,1937-2010)

匈牙利的一位数学教授多莫科斯 (Domokos,G.) 与阿诺德有过一番交谈，随后他与学生瓦尔科尼 (Várkonyi,P._ 开始探索单－单静平衡体问题[1]（图3、图4）。从上述书本和铅笔的例子可以判断，单－单静平衡体如果存在绝不会是扁平体，也绝不会是细长体。这种物体如果存在必具有接近球体的外形。均质理想球体在任何位置上都能平衡，有无数个平衡点，既非稳定也非不稳定。但如果对球体表面稍作修正，就能人为制造出新的稳定平衡点和不稳定平衡点。以哥伦布竖鸡蛋的故事为例：对鸡蛋表面做微小修正（敲开一个小孔），原来不稳定的平衡点就转变成为稳定平衡。

图3 多莫科斯 (Domokos,G.)

图4 瓦尔科尼 (Varkonyi,P.)

为了寻找自然界中有无单－单静平衡体，多莫科斯和瓦尔科尼在希腊的罗德岛 (Rode island) 海滩检视了2000多枚卵石，可惜竟无一枚符合单－单静平衡体的特征。他俩又跑遍了布达佩斯的动物园和宠物店。有趣的是，居然在一只乌龟身上发现了类似的现象。这只称为 “印度星龟 (Indian star tortoise，学名Geochelone elegans)”的乌龟背负着高高拱起的带棱边的厚壳。当这只乌龟被掀翻成厚壳着地四脚朝天的状态时，它不需要头颈和四肢的帮助就能迅速翻转成四肢落地的正常位置，从而表现出明显的单－单静平衡现象（图5）。虽然乌龟并非严格的均质凸几何体，但它证明了唯一稳定平衡和唯一不稳定平衡的生物体可能在自然界中存在。

图5 印度星龟的自动翻转

经过多年锲而不舍的数学分析和实际探索，2006年多莫科斯和瓦尔科尼终于造出了世上第一只单－单静平衡体（图6）。将这个人造物体放在桌上，它能从任意位置自动恢复到唯一的稳定平衡位置。这个特殊物体被命名为Gömböc，是由匈牙利语的球形 (gömb) 演化成的名词，国内报刊音译为 “冈布茨”。第一个人造的冈布茨与球体的区别非常微小，它的曲面函数与球面只有10-5的差别，制造工艺难度极大。若取消对几何体表面光滑性的限制，允许有棱边存在，则相对球面的差别明显增大，可利用电脑控制的雕刻机制造。从球体演化成的单－单静平衡体并非只有唯一解。根据多莫科斯和瓦尔科尼的分析，可以产生出无数个不同的冈布茨，形成冈布茨系列。在2010年的上海世博会上，一个用钢材制成，高1.5m，宽3m，重达2吨，世上最大的冈布茨在匈牙利馆的大厅里陈列，成为镇馆之宝。

图6 冈布茨

参考文献：

[1]  Várkonyi P L, Domokos G. Mono-monostatic bodies, the answer to Arnold’s question. Mathematical Intelligencer, 2006, 28(4): 34-38

改写自：刘延柱. 不倒翁、乌龟翻身和冈布茨. 力学与实践，2010，32(2): 147-149；
　　       刘延柱.  趣味刚体动力学（第2版）1.13节，高等教育出版社，2018)

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。