边界条件与运动方程的相互作用

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在经典理论中，运动方程的微分形式是线性偏微分方程，在理论推导时，它是独立于具体边界条件的。在科学哲学思想上认为，运动方程是物体内部的场运动方程，微元体的理想化是规则的局部几何空间，一般的取为理想的局部欧氏空间（平直时空几何）。这个时空几何是刚性的时空，是牛顿的绝对时空。

广义相对论指出的是：物质运动的局部时空是由物质运动本身决定的。遗憾的是，理论上只是构造了物体运动速度决定的时间与空间的关系，从而给学界的直观感受只是在物体高速运动时才需要考虑时空的弯曲。这个概念使得人们主观上认为，相对论效应并不出现在经典理论研究的宏观物体低速运动中。

20世纪大量的非线性方程出现了，对于各类方程的求解导致一个最为基本的事实：运动方程的正确性依赖于边界条件。工程上，随边界条件的不同，需要采用修订后的略为不同的运动方程。此类修订后方程有两个基本特征：

  · 在与经典理论类似的边界条件下，可以退化为经典理论方程，从而再次肯定经典理论的有效性；

  · 在超出经典理论预设边界条件下，经典理论方程不能给出正确的结果，从而否定经典理论的有效性。

这种各学科实质上面对的问题就是：既要坚持经典理论的有效性部分，又要否定经典理论的推延部分。在这层意义上，如何建立普遍有效的理论来实现两者的协调就是理论发展的必然需求。在这个普遍有效理论的追求上，近几十年的进展几乎是停顿的。

这就回到了20世纪上半叶的论题：物质运动的内部几何时空是弯曲的，而这种弯曲是由于物体外部的物理场所决定的。就具体物体运动而言：物体所处的物理场环境条件决定了一个弯曲的时空，而这个弯曲的时空中的物体运动规律（运动方程）才是普遍性的运动规律。就非线性方程的求解而言，边界条件以时空弯曲的形式修改了经典理论的绝对时空下的运动方程。

这个认识引导各学科努力的建立了与经典理论运动方程对应的张量方程，从而在形式上把理论建立在一般性的局部弯曲时空上。但是从哲学上看，由于这种弯曲时空本身是由实际的运动所决定的，而实际的运动是未知的待定量，从而张量方程含有的未知待定量远远的超出了方程数量，所得到的运动方程是无法求解的。

由于这个实质性的困难，各工程学科基本上抛弃了本学科刚建立不久的张量方程。而是采用工程上的经验形式：

  · 引入物性参数的几何非线性；

  · 引入物性参数的物理非线性。这种非线性的实验研究是很热门的。

而理性的研究路线是：

  · 边界条件以何种方式进入运动方程的物性参数；

  · 物性参数函数化后的运动方程（非线性方程）的解如何得到，其一般性质为何。

在思想上，经验性的研究结论和理性的研究结论是应该取得共同结论的。如果这种性质的共性结论能够取得，那么就可以认为：新的普遍性理论得到建立。

从发表论文看，经验性的研究是主导性的，而理性的研究路线基本上处于边沿状态。理论研究与实验研究的脱节极为明显。

就科学发展的历程来看，用边界条件修改运动方程的物性参数，用修改后的运动方程+边界条件来确定具体的定解问题后，方程数量在形式上就与待定物理量数量一致了，从而理论上可以求解。

这里有一个哲学观点上的跳跃：

  · 运动方程本身含有边界条件的影响，从而只有在边界条件给定后，具体的运动方程才是确定性的；

  · 边界条件本身也必然受到具体解的约束，从而边界条件本身必须是方程的实际解。

要在普遍性的抽象意义下建立这个哲学观点下的运动方程就是比建立张量运动方程更为困难的事情。它要求：提炼本质性的物理场量和物性参数。在这层意义下，经典理论面临的修订就不再是限于时空的弯曲化，而是还包含方程具体参数的函数化（由边界条件在形式上确定）。

抽象理论界对于这个论题的提法是：物质与场的相互作用。

来源：肖建华科学网博客 作者：肖建华教授