流体力学的“白月光”

执着向前

还记得读书时学校里有位心直口快的老师，常常对学生们发出灵魂之问，其中印象中最深刻的便是：“同学，眼瞅着你也快毕业了，有没有信心推导出N-S方程？” 笔者当时也被问的浑身哆嗦，灵魂出窍。多年以后，笔者成为了一名以CFD为生的流体工作者，而N-S方程却似乎更加遥远。如果说流体的工程技能是我们柴米油盐的日常，那么N-S方程无疑是流体力学的“白月光”，在心上，却不在身旁。

N-S方程的故事大概也和“白月光”一样迂回而悠扬，而故事的主人公便是我们流体力学课本上耳熟能详的名字：欧拉、纳维、柯西、斯托克斯…

1、写序言的人-欧拉

所有的故事都有起承转合，而给“白月光”写序言的人，无疑便是欧拉

1.1 欧拉的开挂人生
作为史上可以和牛顿、高斯等人齐名的科学家，欧拉自然也有开挂的一生。1707年4月15日，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，其父亲则和当时的数学世家——约翰·伯努利一家关系不错。13岁时，欧拉考入巴塞尔大学并成为伯努利的学生，三年时间内连续获得本硕学位。20岁时，声名在外的欧拉应邀入驻位于圣彼得堡的俄国皇家科学院，一待就是14年，期间在分析学、数论和力学等方面成就斐然。1741年，欧拉受普鲁士腓特烈大帝的邀请，离开动荡的俄国，辗转到柏林科学院，并在接下来的25年中做出了浩如烟海的开创性工作。1766年，欧拉重返圣彼得堡并度过了余生。

1.2 理想流体的运动方程
十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨开创了对人类影响深远的微积分，而欧拉便是其最重要的应用者和推进者。自欧拉之后，微分方程及其求解方法成为力学等众多学科研究的重心。当然，欧拉也将微分方程应用到了流体力学的领域，并提出了对后世影响深远的欧拉方程，即将牛顿第二定律施加到理想流体上的微分方程——这大概也是我们第一次遇见流体运动方程的样子，简洁而又美丽。

2、承前启后者-纳维

欧拉建立了描述理想流体运动的微分方程，奠定了“白月光”故事的基调。不过，直到欧拉去世后的第三年，N-S方程的“N”，即纳维，才来到人间继续书写未完的传奇。

2.1 少年纳维的幸与不幸
1785年2月10日，克劳德-路易·纳维（Claude-Louis Navier）出生于法国勃艮第大区的首府第戎，其父亲是当地的国会议员，大致相当于咱们的省人大代表，家境不错。然而在纳维八岁时，父亲不幸离世。为了让纳维接受最好的教育，母亲便将他交给了他的工程师舅舅戈泰照料。

纳维的舅舅戈泰在建筑领域很有名望，法国大革命后，他在巴黎高级法院的桥梁高级委员会担任过多个重要职务。在舅舅的熏陶之下，纳维于 1802年先后进入巴黎综合工科学校和桥梁公路学校求学。1806年毕业后，他也顺利的成为了一名桥梁和道路工程师。

2.2 回归学术的中年纳维
转眼到了1824年，不惑之年的纳维在主持荣军院桥的设计时，没有在计算上留出一定的安全余量，导致了桥梁开裂并被拆除。纳维因为在工程设计中过于依赖数学计算，而受到政府委员会的谴责，也因此影响了他在桥梁建造方面的声誉。不过同年，纳维因为其在学术上的成就而被法国科学院授予院士称号。

或许是这一正一负的影响，使得纳维后来将自己的精力更多的投身于科研事业。1830年，他在巴黎国立桥梁与道路学院担任教授，第二年，他又成为了法国理工学院的微积分和力学教授，并在结构分析领域做出了开创性贡献。

因为纳维的杰出贡献，他的名字被镌刻在了埃菲尔铁塔之上，位列72名影响世界的法国科学家。虽然纳维一生绝大部分的时间都在和桥梁道路打交道，但是他对后世最大的影响仍然在于流体力学的核心“N-S方程”。

2.3 纳维的承前启后
很长时间以来，人们就认识到流体的内摩擦是导致欧拉方程偏离实验的主要原因，比如大家熟知的达朗贝尔佯谬。尽管如此，却很少有学者试图将粘度的影响包括在流体的运动方程中。后来，连欧拉大神自己都看不下去了，于是在1761年提出了流体运动的粘度理论，可惜，他的理论错误地假设流体的摩擦与压力成正比。

直到1822年，纳维公开发表了关于流体运动的文章。纳维在文章中提到，欧拉方程将流体视为分子集合，易于自由运动且彼此之间不存在任何抵抗，这种假设只适合于完全均匀的流动——即当所有分子保持相同的运动时，分子间的作用相互抵消，不会影响流体的状态；但分子彼此出现相对移动时，情况则会有所不同。

纳维进一步解释：从大量的经验来看，压力并没有明显的影响运动流体各部分之间的分子作用所产生的阻力，而这些阻力更多的来源于相邻分子的速度大小或方向的差异，即分子间的相对速度。由此纳维进一步推导了相邻分子在相对运动时，作用在分子上的力。

纳维的假设与现代的观点几乎完全一致：在紧靠壁面的边界层中，流体呈现相对运动，粘性影响显著；反观边界层外部的流体（外部势流），粘滞效应很小，因为流体呈现更加一致的共同运动。尽管纳维没能给出最终的流体运动方程，但是纳维对于粘性和流体运动的思考却深刻的影响着后来者。

3、峰回路转-柯西

有了欧拉的理想流体运动方程，加上纳维关于运动流体粘性的思考，“白月光”似乎已经呼之欲出了，可好像又少了点什么，直到柯西的出现。

3.1 另一位埃菲尔铁塔上的男人
柯西是一位出身不凡的数学家。1798年8月21日，奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）出生于法国巴黎。其父亲是一位律师，在拿破仑上台之后晋升为参议院秘书长，与当时法国的大数学家兼参议员的拉格朗日和拉普拉斯交往密切。

彼时的战争年代，科学家们最好的工作或许就是铺路搭桥，土木工程专业风口正盛。1807年，柯西也进入纳维曾经待过的地方——桥梁公路学校学习，毕业后成为了一名工程师。不过基础扎实的柯西不甘寂寞，工作之余还潜心研究数学，经常参加学术活动。比纳维年轻14岁的柯西更早的将重心从工程转移到了学术研究，取得了许多开创性成就，而这些成就也给柯西带来了声誉，于1816年早于纳维被任命为法国科学院院士。当然，因为柯西在科学领域的杰出贡献，他的名字也镌刻在了埃菲尔铁塔上供后世敬仰。

3.2 柯西动量方程
不同对纳维专注于流体粘性的研究，柯西则聚焦于对欧拉方程的变换。他在欧拉方程中引入流体微团的应力张量的概念，从而推导了著名的柯西动量方程，不过原本简单的欧拉方程一下子就变得更加复杂了。小编代表无数被流体力学折磨的小伙伴悄悄的问一句：“柯西，你是魔鬼吗…”

虽然柯西把欧拉运动方程变得更加复杂了，但是也将流体运动不同于固体运动的规律准确的呈现出来。而我们熟悉的流体运动微分方程便是基于柯西动量方程推导出来的。

4、神功告成-斯托克斯

纳维在发布他对于运动流体粘性的思考之后的很长一段时间内，并未得到学界的关注和认可，直到另一位大神横空出世。

4.1 我生君已老
1819年，纳维已近中年，而在爱尔兰的斯莱戈郡，一位未来之星悄悄出生了，那就是大名鼎鼎的乔治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）。有趣的是，斯托克斯的父亲也是一位牧师。

少年时，斯托克斯分别求学于斯格林、都柏林和布里斯托。1837年，18岁的斯托克斯被剑桥彭布罗克学院录取。四年后，他以资深牧马人（Senior Wrangler：剑桥大学数学系最顶尖毕业生的荣誉称谓）的身份毕业，并携带着自己本科生的成就当选学院学术委员会成员。

小编不得不再次感慨，大神的世界，我们凡人不能理解。1849年，年仅30岁的斯托克斯被任命为剑桥大学卢卡斯数学教授，直到1903年去世，斯托克斯的职业生涯几乎都在剑桥大学度过。

斯托克斯清白的家世和良好的背景也让他颇受英国皇室的欣赏。1854年以后，斯托克斯一直担任皇家学会的秘书之一，甚至在1885年至1890年的一部分时间里，他还被任命为英国皇家学会的主席。因为英国皇室的重视，斯托克斯于1889年被授予男爵，所以很多时候，他也被敬称为斯托克斯爵士。

4.2 站在前人的肩膀上
结合纳维对粘度的思考和柯西的张量思维，斯托克斯便大展神威，推出了引无数流体人尽折腰的“N-S方程”。

为了推导牛顿流体一般形式的运动方程，斯托克斯将牛顿粘性定律从一维扩展到三维，提出了三个假设：流体是各向同性的；流体静止时，法向应力等于静压强；应力与变形率成线性关系。根据上述假设便可推导流体应力的本构关系，并代入上述的流体运动微分方程，即可推导N-S方程。

上图给出了N-S方程的推导，作为最普适的流体运动方程，它适用于可压缩变粘度的粘性流体的运动。当然根据不同的研究场景，上述N-S方程还可以做一些简化，比如我们更常用的不可压缩流动，此处不再赘述，感兴趣的小伙伴可以自行推导。

5、你终究是我只能仰望的梦想

N-S方程的故事虽然结束了，对于后来的流体工作者来说，却又是一个崭新的开始。流体江湖对N-S方程万般敬仰，却又爱又恨。方程中的对流项具有二阶非线性，如同一座大山一样挡在求解者的面前。而当N-S方程面对更加混乱的湍流时，似乎也变得更加无解。

斯托克斯之后，无数流体力学的侠客们都不甘心放弃如此绝世的秘籍，于是大家都握着49米长的大刀在N-S方程面前“磨刀霍霍”。从雷诺将湍流分解为平均速度和脉动速度，带入NS方程推导雷诺平均方程开始；布辛涅司克又“生搬硬套”的提出了涡粘性假设，将湍流脉动引起的雷诺应力类比成了平均应力；而现代流体力学之父普朗特更是通过大胆的假设提出了“混合长度模型”，从而让N-S方程的湍流求解成为可能。

时至今日，各种基于N-S方程的CFD软件早已渗透到各行各业，但不幸的是，100多年过去了，N-S方程的数学特性，即解的存在性和光滑性至今都没有得到证明，而美国的克雷数学研究所更是将这一问题列为七个千禧年大奖难题之一。

看着手中花花绿绿的CFD软件，再回首先辈留下的旷世秘籍——N-S方程，如同“白月光”一样，照射在我们的床头。我们究竟是离梦想越来越近，还是与梦想渐行渐远了呢？