小提琴弦下的奥妙——趣谈自激振动

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想必大家或多或少知道小提琴的演奏方式：将琴弓放在琴弦上，拉动琴弓，小提琴便能发出悠扬的音乐。我们都知道，声音是由物体振动而产生的，小提琴也不例外。琴弦的前后快速振动产生了声音，而声音的美妙更说明这种振动是比较规律的。然而，是否有人注意到，单单拉琴弓这个动作，似乎和前后振动的动作没什么关系。而且能被人耳察觉到的声音至少需要20Hz，前后拉弓显然达不到这个频率。那么，琴弦究竟是如何振起来的呢？

这一切都要归功于自激振动这种物理现象。

琴弦——干摩擦引起的自激振动
我们来观察一下小提琴的琴弦和琴弓。琴弦基本上就是一根弹性绳，在没有外力的时候，它是伸直的。将琴弦从它伸直的状态拉开，琴弦便会在自己张力的作用下往回弹，拉开得越远，回弹的力越大，我们选择琴弓与琴弦接触点相比伸直状态的位移表示弦的偏移量，弹力近似只与x 成正比。弦和弓间有摩擦力，弓一般很粗糙，这个摩擦力很大，完全能够抵抗琴弦回弹的力。所以，当我们拉弦的时候，弦在摩擦力的作用下张开；弦被拉伸，使弦的弹力越来越大，直到某一瞬间，弹力超过了弓能提供的最大静摩擦力，弦便突然回弹；弦的弹力又减小，直到弹力再一次小于摩擦力，琴弦再次被拉开。如此周而复始，形成振动。

琴弦振动中的摩擦力
让我们更进一步，可以发现这个系统存在一个平衡点，琴弦被拉伸至回弹的力等于最大静摩擦力时，琴弦完全可以停在这个位置。但演奏中弦并没有停留在此处，这与摩擦力的形式相关。

我们通常将摩擦力看作恒定的，然而实际上，摩擦力的大小与接触面的相对速度相关。如下图所示。这种摩擦力更符合现实中见到的摩擦力。速度较大时摩擦力是恒定的，速度较小时摩擦力会增大，这符合静摩擦力大于滑动摩擦力的现象。

设弓运动的速度为v。假设琴弦达到了上述的平衡点不再运动，弦相对于弓的运动速度为-v。如果这时琴弦受到了一个微扰。它有可能顺着弓运动了起来，则弦相对于弓的速度减小了。弦受弓的摩擦力增大，超过了此时的弹力，弦便动起来，被越拽越远，振动便开始了。同样，如果弦稍稍回弹了一点，它相对于弓的速度增大了，摩擦力减小，而弹力没有，弦便会继续向回弹。可见，这个平衡点不是稳定的。

奇特的周期特点
这样运动的周期性是怎样的呢？我们发现，琴弦和弓运动方向相同和相反时，总位移大小是相等的。如果琴弦的速度始终没有弓快，则运动方向与弓相同时，弓对弦的摩擦力做正功；相反时，摩擦力做负功。然而，运动方向相同时，相对运动速度小，摩擦力大，因此正功多于负功，琴弦振动幅度越来越大。直到某一瞬间，琴弦的速度超过了琴弓，琴弦受到反向的摩擦力，速度急剧减小。所以，琴弦的能量不会无限增大，它总会稳定在某一种振动模式。

如果将琴弦的运动状态画在相图上，我们就会发现，无论琴弦初始状态如何，相轨最终都会趋向于同一根闭合曲线。这根闭合曲线是所有相轨的极限，称为极限环。极限环里平行于水平轴线的直线，代表弦被弓拽走拉伸的过程；下面那段回弯的曲线，代表了超过静摩擦极限后，弦急速回弹的过程。

自激振动在生活中是很常见的。本文提及的小提琴，狂风划过树枝的呼啸声，自来水管突如其来的喘振，墙上的老式机械挂钟发出的滴答滴答的摆动声……这些现象的背后都藏着这样一个有趣的物理原理。

对演绎着我们生活的物理充满好奇，会让你的生活更有意思。

参考文献：
[1]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8A%A8#%E8%87%AA%E6%BF%80%E6%8C%AF%E5%8A%A8
[2] 赵凯华，罗蔚茵：《新概念物理教程》（第二版）
[3] Richard Philips Feynman，《The Feynman Lecture on Physics》

来源：致远物理咯咯微信公众号（ID：gh_9a8febbbee17），作者：龚亦飞 郭禹恒 张晋川。