表面浸润的内在机制：最小作用量原理

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一、引言

大自然经过亿万年的演化，其景象宛若鬼斧神工，浑然天成，一些奇妙的现象令人叹为观止。物竞天择，适者生存，生物体的诸多性能经过长时间的优胜劣汰已经达到近乎完美的程度。许许多多的生物经过长期的进化而拥有神奇的浸润性能，以确保它们能够更好地生存。例如，下雨过后荷花的叶子上面晶莹透明的雨珠滚来滚去，从而容易带走灰尘污染物，所以有诗人“莲出淤泥而不染”的赞颂，而科学家则称之为“莲花效应”或者自清洁效应[1,2。唐代大诗人韦应物在《咏露珠》中吟道：“秋荷一滴露，清夜坠玄天；将来玉盘上，不定始知圆。”更是形象地描述了圆形的露珠在荷叶表面上的不浸润、具有极大接触角的现象。另外，可能更令我们感到惊讶的则是一种叫做水黾的小动物，它们能够在水面上自由自在地奔跑和跳跃而不被水所浸润，这种“水上漂”的本领只能令我们人类望洋兴叹！所以英国作家Hilaire Belloc[3对此发出了由衷的惊叹：“它在水面漫步，显得那么轻盈、敏捷、悠闲、逍遥，它使人们的奔跑为之逊色；又令你不由得目瞪口呆……”而与此相反，其它一些动物由于生存的需要却很容易被水所浸润，例如纳米比亚沙漠中的一种甲壳虫利用其表面的微结构吸收雾滴而存储水分[4，而德克萨斯角蜥可以利用其布满全身的毛细管直接从潮湿的泥浆里吸水[5。

上述生物产生特殊的浸润性能的原因，在于它们能够合理地利用表面张力。而表面张力引起的各种现象在自然界、工农业生产和我们的日常生活中处处可见，数不胜数。如下雨过后蜘蛛网上面形成的一串串亮晶晶的水珠，常常会引发无数文人骚客的遐思妙想。我们也可以看到一根比水重的针可以很容易地浮在水面上，而附在铁丝圈上的一块肥皂膜尽量绷紧以减小它的面积。另外，据世界上最权威的科学杂志《nature》报道[6，将两束头发浸没在液体中时，头发形成多层次、多级的粘附结构。而类似的多级结构在自然界中也是无处不在的，例如动物骨头的宏、微、纳观跨尺度结构，树木、河流的分枝分叉现象，人体内毛细血管的树枝状分布等。

关于表面浸润的这些奇妙的自然现象千奇百怪，千变万化，但是万变不离其踪，任何表象都有其内在的物理根源，即它们都是由表面张力或者毛细力引起的，都满足自然界和谐统一的法则。如何从纷繁杂乱的现象中揭示其内在的机制，则需要利用力学中的法宝：最小作用量原理。

二、最小作用量原理简介

1. 最小作用量原理的起源和发展

最小作用量原理是从对自然界行事简单性的观察中发展而来的。古希腊哲学家在考察自然现象时就已经认为自然界总是有根据地去做他的事情，并在所有的行动中选择最短或最容易的路线。随后，亚里士多德提出了等周问题，欧几里德提出了光传播的最短路径原理。而伽利略、达芬奇、普朗克、庞加莱等都认为自然界是最经济的，即自然界不仅避免多余的努力，而且避免那些足够但不是绝对必需的努力。正如伽利略所言：自然界总是习惯于使用最简单和最容易的手段行事。而达芬奇则认为：自然界总是以最简洁的方式行动[7。

费马提出的极值原理是最小作用量原理成功应用的第一个范例，它指出：光经过两种介质的界面时，无论是发生发射还是折射，光总是沿用时间最短的路径运行。对于这种特性，著名物理学家波恩曾给出一个生动的比喻：“光运动起来就像一个必须到达确定目的地的疲倦的报童，仔细地选择着最短的可能路径。”费马原理只是最小作用量原理的一个特例，但是它简洁、优美的形式和对光现象的高度概括，暗示着某种更普遍的原理存在的可能性。

科学的发展表明，对于自然界中那种富有意义的秩序，我们必须从自然规律的数学核心中去寻求它的根源。经过大数学家伯努力、莱布尼兹、牛顿、欧拉、拉格朗日等人的努力，变分法形成了系统的理论体系，为最小作用量原理的进一步发展提供了理论支持。在此基础上，法国著名科学家和启蒙思想家莫泊丢提出了静力学中的普遍定律并将之推广到动力学中，从而享有“有最小作用量原理之父”的美称。莫泊丢坚信自然界行为的简单性，而这种简单性正是通过某个称为“作用”的量的最小化而展示出来的。正如他自己所断言：“建立在这个原理之上的运动学与静力学定律，应当与自然界所观察到的现象相吻合，我赞颂这一原理对一切自然现象的普适性，动物之运动，植物之生长，星体之运行，都不过是它的推论而已。”

拉格朗日在其专著《分析力学》中严格证明了最小作用量原理和牛顿运动方程的等价性，但是最小作用量原理允许我们从所有可能的运动中挑选出真实的运动，这些工作被哈密顿誉为“一首数学的诗”。拉格朗日的体系是对牛顿的力学体系的扩充，而哈密顿在此基础上又提出了革命性的新的理论体系。哈密顿原理指出：力学系统在给定时间的一切可能运动中，使哈密顿作用量（主函数）取极值的运动才是真实发生的运动。通过广义坐标和广义动量，复杂系统的牛顿运动方程变换成了一套简单而对称的方程，从而把动力学推向了其发展的顶峰。哈密顿原理所体现的科学美的风格及方法论特色有着极为重要的启发意义，它也是经典力学通达量子力学解释的重要形式，包含了光学与力学间的启发性类比，这在量子力学的创立者德布罗意和薛定谔的工作中再度复兴并得到进一步的发展。从此最小作用量原理被物理学家看作物理学的最高原理，由此去导出经典物理学的全部理论，这正是19世纪后期理论物理学发展的新风尚。另一方面，沿着哈密顿所阐发的光学–力学类比，今天已建立了一套新的类分析力学的光学——哈密顿光学。大连理工大学的钟万勰院士将弹性力学纳入到哈密顿辛对偶体系中，建立了一套求解框架。

2. 最小作用量原理在自然界中的表现

最小作用量原理是自然界普遍存在的基本法则，自然界中的现象都遵守这一原理，所以它被认为是“上帝创世的秘密”。仔细观察自然界的各种现象，我们会发现，极值问题是十分普遍的。自然形成的河流的走向似乎是复杂和无规则的，然而认真的研究发现，真实的路线一方面总是趋于消除能量损失的过于集中，另一方面趋于把总能量的损失减小到最低限度。将一根两端固定的悬链，让其自由下垂，其形状将使得系统的重心最低。而我们躺着比站着时感觉舒服，也是重心较低从而使总势能最小的缘故。观察猫在寒冷的夜晚睡觉的姿态，会发现它的姿势尽可能减小表面积，从而减少散热；而夏天它会采取另外一种姿势以最大限度地散热。美观实用的蜂巢也符合最省料的原则，令我们不得不为其高超的建筑天赋而发出由衷的赞叹。正如《天方夜谭》中的蜜蜂所说：“我的房子是按照一种最严谨的建筑学规则建筑的；欧几里德本人可以从研究我的巢室的几何学中学到东西。”再如长期生长在干旱地区的植物叶子表面坚硬而厚实，以至于趋于球形或圆锥形，可以减小表面积而减少水分蒸发。水分充足地区的植物其叶子薄而面积大，可以大量蒸发水分。植物的种子一般都近于圆形，可以在较小表面积下占有尽可能的体积来存放养料。除此之外，在电路中，电流是按照其产生的焦耳热功率为最小的方式来分配的。即使在微观领域，基态原子的核外电子排布遵从的重要原则之一便是使原子系统的总能量最低。热学系统则自发地趋于熵最大的状态[7。

三、基于最小作用量原理的表面浸润现象

对于最小作用量的普遍性，大数学家庞加莱曾概括过：“作为普遍的原理，最小作用原理和能量守恒原理具有极高的价值，他们是在许多物理定律的陈述中寻求共同点时得到的，因此，它们仿佛代表着无数观察的精髓。”而被誉为“德国物理学宰相”的亥姆霍兹则精辟地评述到：“最小作用量原理的有效性远远超出了有质物体的力学范围。在这种意义上，它可能是关于自然界中一切可逆过程的普遍定律。无论如何，在我看来由于最小作用量原理在各种情况下的普遍有效性，可以有把握地说，作为我们探求新现象的物理规律时的一个有启发性的原理和向导，这一原理具有很高的价值。”从这些评述中和对自然现象的观察中我们发现，每当过程的实现有一种以上的方式可供选择时，自然界总是取那种其时间和能量之积为最小的方式，这是普遍存在的真理。对于自然界中的表面浸润现象同样也可以从最小作用量原理来寻求合理的解释，诸如荷叶的超疏水效应、水黾的水上漂本领、锥形管中液滴的定向运动，以及毛细粘附的多级结构等都可以用最小作用量原理获得圆满解释。

自然界中较小的液滴总是尽可能地趋于球形，以达到最小的表面积，从而具有最小的表面能。而体积比较大的液滴则像一个稍稍压扁了的球，这是由于水滴的总势能包括表面能和重力势能两部分，而表面张力使液滴尽可能趋于球形，重力势能则尽可能使其重心降低。于是液滴最终的形状为表面能和重力势能之和为极小的状态。对于光滑固体表面上的一个液滴也可以作类似分析。其总势能包含重力势能以及固/液、固/气、液/气的表面能，对此总势能进行变分运算可以推导出来相应的欧拉-拉格朗日方程，此处称为拉普拉斯方程：

其中，△p 为液滴内外的压差，γ 为液体的表面张力，而C 为液滴表面上任一点的平均曲率。相应的边界条件为杨氏方程：

其中，θY 为杨氏接触角，γSV、γSL、γ 分别为固/气、固/液、液/气界面的表面张力。根据这两个方程可以求解出液滴平衡态的形状。而上述的拉普拉斯方程和杨氏方程也可以通过牛顿第二定律进行受力平衡而推导出来。

实际上除了上述例子，对于弹性力学问题，除了微分提法外，尚还有与之对应的变分提法。例如，对于一根承受分布力q 的悬臂梁，其能量泛函为

其中，l 为梁的长度，EI 为抗弯刚度，w 为挠度。对上式进行变分运算，根据最小势能原理，可以得到与之等价的边界条件以及平衡方程

这些例子都充分说明了，最小作用量原理与系统受力平衡的等价性[8。

而荷叶是具有复杂的微纳米结构的粗糙表面，所以液滴与荷叶的接触面积比起光滑表面来大大减小。根据最小作用量原理，液滴要努力减小其表面积，这样液滴滚动时就很容易携带走灰尘和污染物，从而呈现出“超疏水”的性能，所以荷叶的表面始终能够保持自清洁[9。

水黾能够在水面上自由地运动的内在机制也是最小作用量原理。如图１所示的平面问题，计算时将其运动的惯性力已经折合成外力，故而在此只研究准静态过程。将水黾的腿简化成承受外力F 的一根刚性棒，建立如图所示的直角坐标系。则此刚性棒浮在水面上时的能量泛函可以写为

其中，S 为排开水的总体积，G 为重力，Z 为圆柱最低点深度，R 为圆柱半径。对上式进行变分运算，根据最小势能原理并结合Laplace方程，可以得到浮力的表达式

以及

其中，θ 如图所示，S1 对应着图中三相线以上以及两侧排开水的总体积。这说明水黾在水面轻松自由地运动时，一定要保持其受力平衡，而这与其势能最小是一致的。实际上聪明的水黾早已经掌握了使其系统的能量最小的运动方式[10,11。通过上述公式进行理论计算和实验测量，我们发现水黾的一条腿能够产生其体重15倍的支持力，是其腿排开水体积的300倍。

图1 浮在液面的水黾腿

除了解释生物的一些特殊的浸润现象，最小作用量原理也能解释其它一些无生命体产生的浸润现象。例如，往锥形管中注入一滴酒精，酒精会从锥形管较粗的一端运动到较细的一端。而这种现象从流体力学的角度来进行受力分析时，由于管的锥形壁面的复杂性，其压力分布也非常复杂，所以很难得到确切的平衡方程。这样，我们从能量的角度进行分析，可以写出液滴在任一位置的总势能。结果表明，当液滴在锥形管的较细端时，其总势能最小。由力学中的最小势能原理可知，液滴会自发地运动到势能最小的位置，这也就是我们所观察到的现象。

最后一个例子是一些毛发、碳纳米管、纳米线等被液体所浸润形成的多级结构，这种井然有序的多级结构引起了很多人的兴趣，我们从最小作用量的角度可以做一点初步的探讨。上述微梁毛细粘附时可以形成多种可能的结构，其中也包括多级、多尺度结构。对上述各种可能形成的结构都可以写出系统的势能，比较势能的结果发现，多级结构的总势能最小[12。而根据最小作用量原理可知，自然界总是趋于使系统总能量最小的状态，所以对于毛细粘附现象，我们观察到的大多是多级、多尺度结构。

四、表面浸润现象引发的哲学思考

关于自然界存在极值原理的思想经历了两千多年的演变，今天它已从朦胧、模糊的观念发展成为物理学的基本原理。最小作用量原理从提出到发展渊源流长，其间它的具体内涵虽几经变化，但其基本思想却始终如一。它不仅在物理学的诸领域，甚至在整个自然科学乃至更大的学科范围内，都具有深刻的作用与宝贵的价值。仅就最小作用量原理在物理学中的地位而论，没有哪一个定律或定理能在如此漫长的历史长河中，如此贯彻始终地伴随着物理学全部进程而发展，也没有哪一个规律能有如此的魅力，始终吸引着众多的哲学家和科学家们；也没有哪一个规律能像它一样，把经典物理与近代物理，甚至把物理学与数学如此紧密地结合起来。最小作用量原理不仅反映了自然界的真与美，也反应了人们对自然规律的普遍性与简单性的追求。

尽管与表面浸润有关的物理现象纷繁复杂，光怪陆离，尽管荷叶的自清洁性能，水黾的水上漂本领，液滴的定向运动以及毛细粘附的多级结构等自然现象各不相同，但是它们最本质的根源却仍然是最小作用量原理，它们只不过是最小作用量原理在自然界中的具体表现而已。这充分说明了最小作用量原理是自然界的基本法则，自然现象千变万化，但是都毫无例外地遵循这一规律。通过运用最小作用量原理来研究自然界中的表面浸润现象，我们可以发现一些事物的规律，从而从哲学的角度来作一番思考。一些肤浅的、未经深思熟虑的思考如下：

  · 一些简单的现象背后往往有其深刻的内涵，面对复杂的社会，我们必须透过现象看本质。大哲学家笛卡尔说过：“我思故我在。”老舍也说过：“思索的时间长了，笔尖上边能滴出血和泪来。”尽管荷叶疏水我们大家都习以为常，但是不经过分析便很难发现其内在的机制。

  · 最小作用量原理和受力平衡方程是等价的，这提示我们在思考问题时，需要从不同的角度来看，而这些不同的方法往往是殊途同归。例如历史上海森堡提出的矩阵力学和薛定谔的波动力学，最终证明它们对于量子力学的诠释是一致的。而从不同的角度来分析问题，也为解决问题提供了不同的途径。这也同时告诉我们，需要一分为二地看问题。尽管有不同的方法来做同一件事情，但是从成本、费用、时间等角度来看，我们需要选择更合适的方法。例如在研究锥形管中液滴的定向运动时，已经证明从流体力学的受力平衡角度列方程难度较大，但是从能量的角度却使问题得到了简化。一定要具体问题具体分析，切忌“一刀切”、“一边倒”。

  · 实践证明，最小作用量原理不但适用于宏观的弹力、重力、电磁力等领域，也适用于量子力学，它实际上是量子力学的理论基础。它也适用于不同于上述的传统作用力，例如“非经典力”。而这些非经典力是在宏观尺度上忽略掉的，但是到了微纳米尺度，随着物体的表面积与体积之比的增大，这些力的影响越来越大。在微纳米尺度下，液体的表面张力、静电力、范德华力、Casimir力等，往往会引起微器件的失效、破坏。研究这些“非经典力”的法宝仍然还是最小作用量原理。现在由最小作用量原理推导出来的破坏失效准则已经是微机电系统 (MEMS)、微纳米仿生领域重要的设计依据。由此可见，最小作用量原理扩大了传统力学的研究范畴，也拓宽了人们认识自然的视野。这充分说明了科学史上时常碰到有些重大问题似乎得到了解决，但是却又以新的形式重新出现。爱因斯坦认为，这也许是物理学的一个特征，并且认为某些基本问题可能会永远纠缠着我们。

  · 尽管最小作用量原理是解决问题的有效武器，但是其存在的本质是什么尚不清楚。例如莱布尼兹曾经认为极值原理并非一个纯逻辑原理，也不是关于自然秩序的一种假设，而是为自然界的存在提供的一种充足理由，一种论证。而莫泊丢提出最小作用量原理的最初目的不仅在于为力学提供一个坚实的理性基础，而且在于为力学提供一种神学基础。他通过科学定律论证上帝存在的企图应被看作中世纪经院哲学旨在达到调解信仰和理性这一目标的最后遗迹。而爱因斯坦等科学大师对于最小作用量原理的理解，体现了他们对秩序井然的宇宙的深深敬畏，是对永恒的自然规律的无限向往，是一种深挚的宇宙宗教感情，是激励他们不懈追求的巨大精神力量。他们心目中的上帝绝不是那个“慈父”般的人格化的上帝，而是存在于事物的有秩序的和谐中显示出来的上帝。所以爱因斯坦曾说道：“任何以为认真从事科学研究的人都深信，在宇宙的种种规律中间明显地存在着一种精神，这种精神远远地超越于人类的精神，能力有限的人类在这一精神面前应当感到渺小。这样研究科学就会产生一种特别的宗教情感，但这种情感同一些幼稚的人所笃信的宗教实在是不相同的。”关于最小作用量原理的本质的探讨，是一个需要进一步研究的问题。

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来源：刘建林科学网博客，作者：刘建林  中国石油大学（华东）工程力学系。