系统具有粘性阻尼情况下的自由振动

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阻尼系统的自由振动

实际系统都是存在各种各样的阻力，如摩擦力、空气阻力、材料的内部阻力等。这些阻力都在消耗着能量，使得系统的振动不断的衰减直至停止。

接下来我们讨论系统具有粘性阻尼情况下的自由振动，弹簧－阻尼－质量系统如下图1所示。

图1 弹簧－阻尼器－质量系统

单自由度阻尼系统的自由振动，可用如下齐次微分方程表示：

对上式进行变化，两端除以质量m，得到：

引入记号：ζ=c/2mωn，ζ 称为“粘性阻尼因子”。这样，得到单自由度阻尼系统自由振动的运动微分方程为：

上式为齐次微分方程，其解具有如下的形式：

将上式代入方程单自由度阻尼系统自由振动的运动微分方程，可得到代数方程：

上式又称为系统的特征方程，方程两个根为：

显然，特征方程的根s1 和s2 所具有的形式，将取决于“粘性阻尼因子”ζ 的值。根据粘性阻尼因子ζ 的取值不同，特征方程的解将具有如下三种取值情况：

  · ζ >1时，特征方程具有两个不等的实根：

  · ζ =1时，特征方程具有两个相等实根：

  · ζ<1时，特征方程具有一对共轭复根：

下面，将分别对以上三种情况进行讨论：

1、当ζ >1时（过阻尼情况）
ζ >1时，系统特征方程具有两个不等实根。根据微分方程理论，阻尼系统运动微分方程的通解形式为：

可见，ζ >1时，单自由度阻尼系统的运动为非周期性的，并且，系统运动将随着时间按指数衰减 。衰减曲线的精确形状取决于常数A1和A2 （即取决于初始条件）。

ζ >1时，典型的响应曲线如图2a～2c。

图2a ζ =1.4，ωn=4rad/s时，不同初始速度时的响应曲线

图2b ζ =1.4，v0=10in/s时，不同固有频率时的响应曲线

图2c ωn=4rad/s，v0=50in/s时，不同阻尼因子时的响应曲线

2、当ζ =1时
当ζ =1时，我们把ζ =1时的情况又称为“临界阻尼”情况。

ζ =1时，特征方程具有两个相等实根。同样，根据微分方程的知识，这时，阻尼系统运动微分方程的通解为：

很显然，ζ =1时，系统的响应同样也随着时间的延续按指数衰减 (ωn>0)。常数A1 和A2 取决于初始条件。

下图3a和图3b给出了在某些初始条件下，当ζ =1时，系统的响应曲线。

图3a ζ =1.0，ωn=2rad/s时，不同初始速度时的响应曲线

图3b ζ =1.0，v0=10in/s时，不同固有频率时的响应曲线

由“粘性阻尼因子”的表达式：

可以看出，当ζ =1时，粘性阻尼系数为：

这一概念的重要性不必过分强调，因为临界阻尼实际上只不过表示ζ >1和ζ<1这两种情况的一个分界线而已。

比较有趣的是，在一给定的激励下，具有临界阻尼的系统能最快的趋近平衡位置（参见前面图2c）。

3、当ζ<1时（小阻尼或欠阻尼情况）
ζ<1时，系统的特征方程具有一对共轭复根。这时，阻尼系统运动微分方程的通解为如下形式：

引进记号：

ωd  称为“阻尼自由振动的频率”。这样：

这时，令：

得到：

应用三角公式，最后得到：

所以，ζ<1时，单自由度阻尼系统的响应可以理解为具有不变的频率ωd 和相角Φ，但是具有按指数规律 衰减的振幅的振动。常数A 和Φ 的值取决于初始条件。

ζ<1时，典型的响应曲线见下页图4a～图4c。

图4a ζ =0.4，ωn=4rad/s时时，不同初始速度时的响应曲线

图4b v0=10in/s，ωn=4rad/s时，不同阻尼因子时的响应曲线

图4c ζ =0.4，v0=50in/s 时，不同固有频率时的响应曲线

由图4a到4c可以看出，粘性阻尼将导致系统的振动随时间按指数规律衰减。

当t →∞时，x(t ) →0，响应最终消失。说明了图中表示的响应曲线真实的反映了物理系统的形态。

总结

对粘性阻尼系统自由振动讨论可知，系统的振动特性取决于粘性阻尼因子ζ 的值。

当粘性阻尼因子ζ 具有不同的取值时，特征方程的根s1 和s2 将会具有不同的形式，从而系统就会呈现不同的振动特性。

下面将特征方程的解：

以粘性阻尼因子ζ 为参量在复平面上作下图5，以说明它和特征方程解s1 和s2 的关系，以及对系统响应的影响。

图5 阻尼因子ζ 与特征方程根s1、s2的关系

  · 当ζ =0时，系统特征方程具有两个虚根±iωn ，这对应于之前讨论的“谐波解”，即“无阻尼系统自由振动的解”；

  · 当0<ζ <1时，系统特征方程具有一对共轭复根，位于半径为ωn 的圆上，且对称于实轴。当ζ  →1时，两根s1 和s2 趋近于实轴上-ωn 这一点。

  · 当ζ >1时，系统特征方程具有两个不等实根，对应于大阻尼状态。且随着ζ 值的增大，当ζ →∞时，s1 →0，而s2 →-∞。

来源：节选自《汽车振动分析》PPT，由fqqzcnw于2011-10-17上传于百度文库