线性与弹性深度分析

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1. 什么是线性

自然界的现象抽象为数学模型，通过数学模型研究其规律，从而反过来解释自然，这是科学研究的基本模式。研究的目标量通常叫做函数或者泛函数，我们可以抽象地记作F，对F 有影响的量通常称为变量，我们抽象地记作X。这里，F 可以是实数、向量、矩阵、张量等等，X 亦然。这样，对于自然规律的研究，就归结于对于F 和X 关系的研究。

所谓线性，表述的就是变量X 与目标量F 之间的一种关系：一个问题被称为线性的，如果对于任意给的实数alpha、beta，下式恒成立：

当然，alpha、beta也可以在实数域以外的域上定义。

上面是比较一般的表述，可以具体举一个力学方面的例子来帮助理解：如果让F 代表结构的位移向量，X 代表结构上的荷载向量，那么上式所表达的含义就是力学上的叠加原理。线性的概念相当广阔，在很多领域都有重要的应用，在结构领域当然也有它的具体表现。

2. 什么是弹性
与线性不同，弹性的概念直接发源于经典力学。弹性所表述的是可变形体的变形特性。粗略地讲，如果在结构物上准静态施加荷载，结构产生变形，当准静态卸去该荷载后，结构的变形完全恢复，那么就称该结构物在该荷载下是弹性的。在力学中，如果假定所研究的结构物都是弹性的，那么这样的力学问题就称为弹性问题，这样的结构系统就称为弹性系统。

进一步从数学上讲，弹性系统都是有势的保守系统，研究的都是有势的向量场：一个向量场F 在空间V 上是有势的，当且仅当F(X) 在V 上的任意闭路积分为零。举例讲，比如弹性体上的平衡力系，在任一个位移（或应变）循环中所做的功为零。

3. 线性和弹性的关系
我们仅从结构的角度来谈论二者之间的关系：

  · 线性结构问题都可以认为是弹性问题，因为从上面的公式可以证明，线性系统一定是有势的。

  · 弹性问题可能是线性的，也可能不是线性的，因为有势的向量场也包括非线性场。通常在力学上把弹性问题分为两类，一类叫做线性弹性问题，一类叫做非线性弹性问题，就是这个原因。

(1) 弹性包括线弹性和非线性弹性，弹性简单说指卸载后变形按原路径返回，没有残余变形。线弹性是应变与应力成比例，符合胡克定律，是直线关系；非线弹性的E 是变化的，应力与应变是曲线。

(2) 在材料力学中，有比例极限与弹性极限两个概念，比例极限是符合胡克定律的最高限，弹性极限是没有塑性变形的最高限，那么在比例极限到弹性极限这一区段内，应力、应变是什么关系？怎么理解？是否可以理解为在比例极限到弹性极限区段内，虽然仍是弹性变形，但E 值已非常量。

弹性极限范围内，构件发生弹性变形，即撤除外力构件没有塑性变形；比例极限范围内，构件除了满足上面的条件，其应力－应变还成线性关系。即，比例极限就是线性弹性极限。

(3) 非线性包括：物理非线性、几何非线性和状态非线性。弹性和线性是不同的两个问题，弹性指材料变形的恢复能力，线性指的是应力－应变几何形状关系的描述。

(4) 弹性与几何非线性的差别是，后者指位移与应变之间的非线性关系，主要是由于大转动造成的。不管是材料处于线弹性还是非线性弹性状态，都有可能出现几何非线性的情况。同时即使材料处于塑性状态，也不一定出现几何非线性。所以说两者是不同的概念，并没有必然的联系。在进行有限元分析的时候，只有材料处于线弹性并且转动量级很小，约束也是线性的时候，才能进行通常的线性有限元分析，否则都是非线性的。

(5) 当材料的本构模型，即应力--应变曲线为双折线时，很容易误认为这是线弹性，但事实上这是非线性。弹性的定义是在应力--应变图中，一条从原点出发且不发生任何弯折的直线。

(6) 非线性除了材料非线性和几何非线性外，还包括边界条件的非线性，最典型的就是接触问题。还有一个例子就是所谓的非保守结构系统，例如荷载的方向随结构的形状变化而变化（索的风荷载作用），这时的力学分析很难。

(7) 弹性不一定是线性，因为它可以是几何非线性，通常我们所说的大变形弹性就是这种情况。我们所说的线弹性是指材料是弹性的，变形是小变形。

来源：CAE部落微信公众号（ID：caeunion）