频率的时间之箭——负频率存在吗?

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时间有正负吗？数有正负吗？频率有正负吗？这些看似简单的问题里面，却包含着很深的物理和数学问题。尤其是涉及到物理问题，即物理的实验和数学如何互相验证的问题。物理所描述的对象是一个实在的客体，需要利用工具来计量，而数学是从物理对象中抽象出来的符号表现和行为规律。自洽的理论是物理与数学模型的完美对应，数学的最终目的也是为物理服务。物理与数学的关系是一个实实在在的问题，其关系是否正确，需要通过不同的数学方法和物理试验来相互验证。而所涉及到的结果是否正确，又与基本参数的设定乃至与最初的假设和定义都有关。

频率有正负吗？
频率有正负，是不是有些奇怪。频率不就是一个在单位时间内周期性振动的量度吗？这个问题，我以前没有太深入的思考过。直到研究噪声时，才发现这里别有洞天，这的确是个实实在在不可回避的问题，让我追究下去。

经典的噪声公式推导是Nyquist在1928年给出的，基于统计力学、能量均分原理和传输线的原理，给出了简明扼要的结果。噪声电势V 的大小等于电势的平均：V=4kTRΔf。结果很明显，就是处于热平衡下导体噪声的大小等于绝对温度T、电阻值R、波尔兹曼常数k 和频率带宽Δf 的乘积，并且有一个4倍的关系。问题就出在这个4倍上。

在文献研究中，发现了另一种噪声的推导方法。即以维纳-辛钦Wiener-Khintchine理论为出发点，该理论是用于研究随机振动的，用功率谱密度函数（自谱）从频域的角度来描述相关性的，即单位频率下物理量的强度量度，进一步可理解为一种“流体”在频域上的密度函数。直接用公式表示为：

其中，S 为噪声的功率频谱密度函数，C 是“流体”的时间相关函数，表示为：

通过适当计算得到C 与时间的关系，再利用上述傅立叶变换直接得到S，进一步通过关系求出最终结果。

上述公式的奇妙之处在于S(ω) 该公式前面直接就有个系数4，这让人非常感兴趣，似乎有‘凑数’之嫌。这个4呀，还真不是凑出来的，它是经过一步一步数学推导出来的，涉及到与时间和频率为正负变量的自相关函数的理论。简而言之，自相关函数经过傅立叶变换后得到频域的功率谱密度函数：

考虑积分上下限和偶函数的特性得到：

再进一步，考虑所谓的单边功率谱，则得到

注意，括号中角频率边界条件的变化。原来这个4是经过两次变换得来的。第一个是时间的积分范围是从负无穷大到正无穷大，隐含着时间是对称的，那么就简化为从0到正无穷大，多了一个2倍。其实，这个时间的对称性可以简单理解为，以某一个时刻开始计时，此前的则为负时间，此后的则为正时间；第二个频率的积分范围从负无穷大到正无穷大，如果频率也是基于零频率原点对称，存在着正负频率，那么同样存在着一个约化过程，积分范围变成从0到正无穷大，即又多了一个2倍的关系，因此是四倍。

上述的数学推导没有任何问题，如果说时间的正负问题我们已经“解决”了，那么频率正负的问题就来了。
时间是个单箭头的物理量，那么频率呢？让人感觉奇怪的是，频率不就是个数值的大小吗？频率的正负来源于哪里呢？负频率是否也同时间的正负一样，只是某个时刻开始的前后吗？如果说存在负频率，那么负频率的物理意义是什么？

文献中可以发现，两种数学推导，以及其它的推导方法都得到了这个4倍关系的存在，而且后来很多的实验都得到了证实，并且与实验吻合得都非常好，这说明从数学的角度来看，对该问题的处理没有任何问题。即，在理论和实验上都得到了圆满的相互验证，并且理论不是凭空捏造的，也是有根有据的。那么，由此问题看来，从数学上看，这就表明负频率存在的正确性，否则，结果将会存在倍数的差异。那么这在物理上该如何理解频率的正负呢？

说到这里，想到开篇的另一个问题，负数存在吗？这也许是个哲学上的问题。世界上可能没有负数，我们只能知道一个物理量的大小、有无和某些特性。但从一些现象中，我们发现了相反的“来来去去”过程，所以我们可以定义圆点和相反数，这样便有了负数。比如，为了定义高低，就需要一个“海平面”的基准，我们需要定义何处是零点、何处是高、何处是低。经济上，收入与支出等；化学上，为了区分酸碱，于是定义了水的中性。这都需要我们给物理量定义中间态及零点。因此，正负数就有了它存在的实际意义。那么物理证据呢？比如，力的平衡，正、负电子相消，波的相干叠加、相长相消等。力的平衡就包含了矢量的问题分析，其中就涉及到方向，进而延伸到正负。这些都意味着物理世界正与负的客观存在。定义了正负，就有了比较，就方便了计算，多了个重要判据的标准，扩大了我们对现象和规律的掌握和认识。

物理学中定义的矢量，虽然体现着物理量在空间上方向和大小的变化，本源上就反映了物理量的正负问题，比如：合力为零。实际上，空间的变化就隐含着正与负的变化。通常的理解，频率本身就是一个数值数量大小和快慢的问题，而缺少了对它所包含着的对方向的认识。角频率就是不折不扣的矢量，于是频率便有了正负的问题。

进一步阐述，其物理意义可能就清楚了。如果频率的定义，就简单是一个在单位时间内周期性振动的量度，那么这个定义就狭隘得多，即用一个符号f 来表示。我们知道还有另外一个量描述频率，就是角频率。一个圆周上运动的质点，速度矢量不断发生变化，其中涉及到角频率ω，角频率是矢量。矢量不仅有大小，还与方向有关。如果方向有了正负，那么对应的物理量便也有了正负。这个方向对应了另一个矢量---位移。位移不但有大小，还有方向，这个方向包含了正与负的概念。角频率和频率的数量关系是ω=2πf。陀螺的分析中，任意一个矢量的方向发生了变化，就有了正负的变化，也将导致其它量的正负变化（按照右手定则）。比如，齿轮的旋转就有正反两个方向。这样，如果定义了一个旋转方向为正方向，那么另一个反向的旋转方向便为负方向，由此，“频率”便有了正负。

那么，在无线电中如何理解正负频率呢？在无线电信号调幅调制中，载波经单一频率信号的调制后，其频谱包含三个频率分量，均匀分布在载波中心频率的左右。那么，可以把低频处的频率理解为负频率，而高于中心处的频率为正频率。

对于振动中的噪声该如何理解正负频率对其作用呢？同样如此。我们可以把一个微观粒子当作一个圆形的轮子，或者一个球体。那么在外界来自不同方向微扰力作用下，这些来自不同方向的力和波推动一个圆轮正转或反转，即相当于有正负频率的波作用。

忽然想到，自然界中存在着一种手形的植物，或者左旋，或者右旋。还有我们的太阳系，几大星球也是按照一定的方向旋转进动，也是包含着方向的。星空是矢量！自然也是矢量。

数学上，正与负、虚与实隐含着一种对称与平衡之美。但更主要的是，我们不知道源头在哪里，时间之箭到底射向何方。固体物理中的波动方程的解就包含了正反两个波，一种解释就是我们不知道波来自于何方。

数学的美，物理的妙！天平的左盘里放着物理，天平的右盘里放着数学，人类的手指在调制着砝码。证明，你要给我证明！

来源：本文来自鲍海飞科学网博客，作者：鲍海飞。