达朗贝尔佯谬与卡门涡街

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达朗贝尔佯谬是流体力学发展历程中经历的一次波折，然而这次波折极大促进了理论流体力学的进一步发展完善，同时也表明人们在认识流体力学这门学科中经历的曲折过程。

18世纪的理论流体力学用无粘性流体模型代表空气与水的流动。我们都知道，任何真实流体具有带动或阻止邻近流体运动的特性，即流体都具有粘性。在当时，建立无粘性流体模型主要有两方面原因：首先，16世纪牛顿提出的流体粘性切应力是流体粘度与速度梯度的乘积（满足次方程的流体称为牛顿流体，如水、空气等，自然界中还存在很多非牛顿流体如石油、血液等），而最常见的流体介质水和空气的粘度都非常小，如果流场中速度梯度也很小，那么粘性切应力可以忽略不计，许多实际流场符合这一条件；其次，由于在流体力学发展初期，数学理论还不够成熟，再加上人们对流体的认识并不深刻，为了求得理论解，人们转向研究无粘性流体。

无粘性流体模型假设的流体粘度为零，这种假想的流体在对物体绕流时，在物体边界上产生滑移，同时流场均为无旋流。用平面势流理论分析二维圆柱的绕流后，结论为圆柱前后的流场对称，物体前面的压强与物体后面的压强相等，作用在圆柱面上的压强合力为零。

达朗贝尔将其推广到一般情况：任何在无粘性流体中作匀速运动的物体所受阻力为零，或浸没在流体流动中的物体上没有阻力。虽然他的推导过程没有任何错误，但他的结论显然与实验相矛盾，这被称为达朗贝尔佯谬。

事实上，对圆柱实验表明，无论流体的粘度多么小，阻力总是存在，而且当改变流体粘度时，该阻力并不与粘度直接有关，因此肯定不是摩擦阻力。对圆柱表面的压强测量表明，实际的压强分布于平面势流计算的结果严重不符，说明粘性通过某种方式影响了物体表面的压强分布。直到20世纪初期，德国流体力学家普朗特引入了边界层概念，才搞清楚其实并不存在什么佯谬，只是没有计入及流体粘性的影响。

流体绕过物体流动时，由流动在固体边界上的无滑移条件，流体与固体壁面的相对速度为零，但离开壁面，沿垂直于壁面的方向流体速度却迅速增大，直至与来流速度相同，这就表明近壁面附近的流场存在梯度，而速度梯度的存在意味着粘性应力的存在。因此普朗特提出绕物体的流动可分为两个区域：一个是直接临近物体表面的薄层，此处粘性力影响不能忽略；另一个是薄层以外的流动，不考虑摩擦应力的作用，是理想流体的势流流动，此薄层称为边界层。

流体的粘性应力固然与速度梯度有关，但从整体流动分析来看，描述粘性流体流动的特性还取决于流体的惯性力与粘性力的比值——雷诺数 (Re=[惯性力]/[粘性力])。在雷诺数非常低时 (Re<<1)，流动通常称为层流，在此种情况下，边界层厚度足以使粘性作用影响到整个流场，基本上没有势流区。在大雷诺数下 (Re>>1)，边界层只存在于物体表面的薄层中，但不管粘性多小，都能带来相应的尾迹，并产生阻力。

以下的例子是Re分别为1、60、200时，空气绕流过圆柱的速度分布和圆柱的升力系数，圆柱直径均为100mm。

Re=1

Re=60

Re=200

Re=200 升力系数图

上面几张图可以清楚地看到，不同雷诺数下，流体绕流出现不同的现象，当雷诺数达到一定值时，在物体尾部交替出现旋涡的脱落。当雷诺数再次增大时，将会出现“锁定”现象。

实际上，流体流过非流线型物体时，流体尾流左右两侧会形成成对的、交替脱落的、方向相反的旋涡。这种现象因美国空气动力学家冯·卡门最先从理论上阐明而得名卡门涡街，封面图片即为流体绕过圆柱，形成漂亮的涡街现象。卡门涡街是自然界的流动常见现象，如风绕过烟囱、桥梁桅杆等。卡门涡街使得物体左右两侧压力交替变化，使得物体在横向发生振动，在特定条件下这种旋涡的脱落近似于正弦的横风向强迫振动作用于物体，严重时导致物体破坏。对于给定的横截面，旋涡脱硫频率与来流流速和物体阻挡流体长度有关，用一个无量纲的量来表示即斯托罗哈数。

来源：力学分析从入门到放弃微信公众号（ID：mechanicsdog），作者：朽木。