谈谈弹塑性力学中的简化问题

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一、关于材料的简化

在弹塑性力学中，经常要作一些假设，实际上这些假设就是重要的简化。例如假设物体是连续的，因为只有物体是连续的，物体内的应力、应变和位移才可能是连续的，从而才可能用坐标的连续函数来表示它们。又比如假设物体是均匀的、各向同性的，而且在物体中无初始应力，即认为整个物体所有各部分的弹性或塑性性质都是相同的，并不随着坐标位置的改变而发生变化，这样，使分析和计算大为简化。在弹塑性力学中，如小变形假设，即假设物体受力以后，整个物体各点的变形都远小于物体的尺寸也是一种简化，在此情况下，可不考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使所得到的关系式都是线性的，从而方便了分析和计算。

二、根据实验资料对应力和应变关系进行简化

研究应力与应变关系时，材料的单向拉伸曲线是基本依据，在分析问题时，应抓住问题的本质，对材料的单向拉伸曲线进行简化。简化的前提是该模型必须和所研究的材料符合较好，而且数学表达式简单。根据实际问题中常遇到的材料，经常采用以下一些简化的应力-应变关系模型，即：线弹性模型、非线性弹性模型、理想弹塑性模型、线弹性线性强化模型、刚塑性模型、幂强化模型和脆塑性模型。

在弹性力学中，线弹性力学模型获得了很好的应用。这时应力应变关系服从胡克定律，而且弹性常数不随应力或应变的大小而变化。因为在许多工程问题中变形都比较小，符合小变形的假设，所以计算结果和实际情况符合较好。对于非线性弹性力学，由于涉及大变形问题，求解具体问题比较复杂，所以至今能求解的问题很少。在塑性力学中，经常将复杂的拉伸曲线简化为理想弹塑性材料模型进行研究，这个模型虽然比较简单，但由于需要区分弹性和塑性两个不同的区域进行研究，具体分析时仍比较复杂，所以只在一些简单问题中获得了解析解。由于刚塑性材料的计算模型简单，所以在结构塑性极限分析和金属塑性成形的问题中获得了广泛的应用，而且得到了许多有价值的理论分析成果。

在研究具有强化性质的材料时，采用幂强化材料模型是比较方便的，因为它的数学表达式简单。在加载过程中不需要按弹性区和塑性区去进行分析，因而便于应用。在采用各种变形体模型分析问题的过程中，将单向拉伸曲线推广到复杂应力状态时的等效应力和等效应变曲线，即采用单一曲线假定具有重要意义。这一简化在比例变形情况下有实验依据。

三、求解弹塑性力学问题简化方法

1. 线弹性力学问题的求解
在弹塑性力学中，为了能通过已知量求出应力、应变和位移等未知量，首先要从问题的静力学、几何学和物理学三方面出发，建立这些未知量所满足的弹性力学基本方程和相应的边界条件。在几何学方面要求物体在变形前和变形后都是连续的，据此建立起位移和应变之间的关系。在静力学方面主要是建立物体的平衡条件，反映这个规律的数学方程有平衡微分方程和载荷的边界条件。在物理学方面则要建立应力与应变或应变增量之间的关系，在线弹性体中，应力与应变呈线性关系，这就是大家熟知的广义胡克定律。

在线弹性力学中，平面问题比较简单，在此情况下，有3个应力分量、3个应变分量和2个位移分量，一共有8个未知函数。而已有的是8个条件，它们是2个平衡方程、3个几何方程和3个物理方程，因而问题是有解的。但是，这里所遇到的问题是要联立求解5个微分方程和3个代数方程，在数学上仍会遇到许多困难。因此，发展了一个用应力函数求解弹性力学平面问题的方法。所谓应力函数方法就是要找到一个函数，这个函数满足平衡条件又满足变形协调条件以及物理条件，所以只要这个函数能满足问题边界条件，则用这个函数表示的应力，便是所要找的应力。有了应力便可以通过应力应变关系找出应变，最后再通过应变与位移的关系找出满足位移边界条件的位移。

2. 弹塑性力学问题的求解
在弹塑性力学中本构关系的研究却要复杂得多。首先弹塑性体的本构关系中，应力和应变之间已经没有一一对应的关系，应变的大小不仅与载荷有关，而且与变形历史有关。在具体求解边值问题时，往往遇到许多数学上的困难。在塑性力学求解问题中，对屈服函数进行简化具有重要意义。从计算角度来看，当主应力大小次序为已知时，应尽量采用特雷斯卡屈服条件。因为它是一组线性代数方程式，求解问题比较方便。若采用最大正应力屈服条件时，有时使计算过程更为简化，而计算结果与用其他屈服条件所获得的结果相差并不大。利用这种线性化了的屈服条件计算各种边界条件的环板和轴对称结构，都获得了很好的结果。

为此，塑性力学发展了许多行之有效的方法，例如，静定问题求解法、滑移线法、主应力法、能量法、参数方程法、加权残值法和界线法等。现选两种比较成功且经常使用的方法介绍如下：

  · 静定问题求解法：这类问题又称简单问题。其特点是平衡方程、屈服条件的数目与所求未知量的数目相等，因而不用使用塑性力学中的非线性的本构关系便能找出所求的未知量。塑性力学中的一维问题大都属于这类问题。例如旋转圆盘、厚壁圆筒、厚壁圆球、实心和空心受扭圆轴、各种截面梁的弹塑性弯曲等，都属于这类问题。这类问题虽然求解简便，但在工程实际中却经常遇到，因此很有应用价值。

   · 界限法：又称上、下限法，是一种很有应用价值的分析方法。由于塑性力学的物理关系是非线性的，因而要找到能满足全部塑性力学方程的解是非常困难的，因此若能找到满足一部分方程的解，而又能对这些解的性质作出估计，这项工作是很有意义的。在界限法中，将塑性力学的方程分为两类：一类包括平衡方程、屈服条件和力的边界条件，这些条件称为静力条件，在这些条件中完全不包括几何方面的要求。若某一个解能满足上述的静力条件，则称该解为静力解，用静力解求得的极限载荷一定比完全解所求得的极限载荷小，最多等于完全解的极限载荷。这里所谓的完全解就是满足塑性力学全部条件的解；另一类方程则包括外力所作的功等于内部所耗散功的条件以及结构的几何边界条件，这里没有考虑静力方面的要求，用这种方法求解，称为机动法。用机动法所求得的极限载荷一般都比完全解所求得的极限载荷大，其中最小的载荷可能与完全解所求得的极限载荷相等。机动法又称上限法，上限法在金属塑性成形问题中和板壳塑性极限分析中，获得了非常广泛的应用，破坏机构可以通过实验方法找到.。最合理的破坏模式也就是和实验结果一致的模式。

四、结论

由以上讨论看出，在弹塑性力学中，从材料、变形规律和求解问题方法都需要进行合理简化，因为简化得合理，才能求得结果而且所获得的结果才会和实际问题吻合良好。学好弹塑性力学的主要目的，是把所学到的知识应用到解决工程实际问题，而工程实际问题往往都是非常复杂的。因此，在学好弹塑性力学的基础上，要继续学会对复杂工程问题进行简化，忽略次要矛盾，抓住主要矛盾，用这一思路去分析问题和研究问题一般都能获得比较理想的结果。

来源：力学与实践微信公众号（ID：lxysj_cstam），作者：徐秉业 王晓纯。