约束的简化及其分类

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约束是力学中的重要概念，最先在理论力学中学习，包括柔性约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束、固定铰支座约束、滑动铰支座约束等等。但这些约束的命名，都是从工程角度，按照材料特性（如柔性约束）、运动特性（如固定、滑动铰支座）来命名，这样命名的好处是直观形象，坏处是不利于把握约束的本质与核心。

本质上约束起着对物体运动能力的限制作用，由于描述物体运动能力的力学术语称为自由度，也可以说约束就是对物体自由度的限制。如平面内的小球（视为质点），有x方向和y方向2个自由度；空间中的小球有x、y、z方向，共3个自由度。如果把小球换成需要考虑形状的刚体，在平面下除了x、y方向2个自由度之外，还有面内旋转，共3个自由度；在空间状态下，除了沿着x、y、z方向3个自由度外，还可以绕3个坐标轴旋转，共6个自由度。我们所学的各种约束，实际上就是对这些自由度进行部分或全部约束。

举例来说，如图1所示具有3个自由度的平面刚体，当约束对刚体完全约束，即刚体不再具有任何运动可能时，成为结构；如果约束对刚体约束不完全，仍具有某种运动能力时，则成为机构。由于机构会发生运动不能作为结构使用。

图1 平面内刚体的运动形式

如只在某点施加x方向、y方向2个约束，刚体仍可以绕该点转动，如果在该点再施加一个旋转约束（像悬臂梁的固定端那样），则成为结构，可以承载。当有效约束个数等于刚体自由度数时，所组成的结构称为静定结构；当约束个数大于刚体自由度数时，称为超静定结构（或静不定结构），并且有效约束数比自由度数多几个，就称为几次超静定结构。超静定结构必须考虑变形补充方程，理论力学中均以刚体、质点为研究模型，理论力学中不能求解超静定结构问题。

这里强调有效约束，即约束不在同一自由度下重复施加。如图2所示，虽然该梁有3个约束，但三个约束在y方向重复施加，只限制了y方向和旋转自由度（两个y方向约束可限制y方向和转动自由度），因此其有效约束数只能算2个，有多余约束。由于约束也可以等效为约束反力，每个自由度又可以列一个平衡方程，理论力学中也通过数约束反力数与平衡方程数来定义超静定结构，即约束反力（通常为未知数）数大于可列出的平衡方程数时，称为超静定结构。

图2 同一方向下的存在多余约束的例子

对于约束的学习需要注重自然语言、图形语言和符号语言三种语言的综合运用，如固定铰支座，自然语言描述为：在一点处施加x方向、y方向2个约束。其力学简图和受力图（图形语言）如图3(a)和(b)所示。

图3 固定铰支座

用数学符号语言描述为：

u 表示x方向的位移，v 表示y方向的位移。即在该点处不能产生x方向和y方向的位移。

再如滑动铰支座，自然语言描述为：在y方向施加1个约束。力学简图和受力图如图4(a)、(b)所示。

图4 滑动铰支座

写出数学符号描述为：

即在该点处不能产生y方向的位移。

固定端约束在同一个点限制三个自由度的，其画法如图5(a)，以及约束反力如图5(b)所示。

图5 固定端约束

写出数学符号描述为：

即在该点处不能产生x、y方向的位移，不能产生转动，dv/dx 表示固定端处梁的转角为0，即不能发生转动。

需要注意的是，力学中的约束是一种理想化了的“力学模型”，在工程实际中，约束往往与“力学模型”有较大的差异。需要学习者能够分析实际约束、并将其简化为“力学模型”，具体就是要分析实际约束是如何实现对物体自由度的约束的，写出数学表达并画出简图。

例如我们常说的简支梁，在实际中可能就是简单的用两个桥墩支撑一个桥面，如图6(a)所示。通常画出简支梁力学简图如图6(b)所示，一端为固定铰支座、另一端为滑动铰支座。但这里并没有出现“铰”约束，那么为什么会把这样的桥简化为简支梁呢？

(a)来源于网络

(b)

图6 简支梁工程实例与力学简图

从工程实际来看，桥板只是受到桥墩竖直向上的支撑，两端没有限制转动和水平移动的限制，这样似乎梁的简图应该画为图6(a)的形式，但图6(a)的形式不能做结构，而是机构，就像小车一样，可以在水平平面内移动了，这显然不符合桥梁的结构功能。

实际上桥板和桥墩之间存在摩擦力，可以限制其在水平方向的运动，应该等效为固定铰支座。但如果将两端都画成固定铰支座，如图7(b)所示，也不符合工程实际。例如当温度变化时，桥梁在长度方向是可以伸长或缩短的，如果两端均为固定铰支座，就限制了简支梁在长度方向变形的自由度，不符合实际情况。因此综合考虑后，桥梁约束一端视为u=0，v=0，为固定铰支座，另一端视为v=0，为滑动铰支座。在一定的范围内（桥面不翻起，水平力不是太大）得到相对合理的“力学模型”。

(a)

(b)

图7 两种不恰当的约束类型

可见，从真实约束向“力学模型”简化的过程中，可以先从被限制的自由度数上分析约束，写出约束的数学表达，再通过约束组合得到梁两端的约束种类，最后画出约束简图。学习约束时，要先进行知识储备，识记几种基本的约束类型，然后将实际约束与自己储备的约束类型相对应，最接近哪一种就简化为那一种。

实际工程中的约束往往比上述情况还要复杂，假设图6(a)中的简支梁有一端不是搭在坚硬的石头上，而是在松软的土层上，那么土就可以被压缩，其约束反力与土的压缩量有关。一般情况下，这种约束可用具有一定刚度的弹簧来描述，如图8右端所示的弹簧约束（刚度待定）。

图8 弹簧约束

“约束”本来是要对物体的自由度进行限制，显然弹簧约束并没有完全约束住该方向上的自由度。在力学上，类似于固定铰支座的约束被称为理想约束；而类似于弹簧的约束，被称为非理想约束。

焊接约束也是一种非理想约束。如图9(a)所示的焊接梁，通常认为焊接约束是一种介于固定端约束与固定铰支座之间的一种约束，即在x、y方向的约束是理想的，但其转动约束不是理想的，可用一个扭转弹簧来表示，画出它的约束简图如图9(b)所示，在固定铰支座上再增加一个扭转弹簧（刚度待定）。

(a) 来源于网络

(b)

图 8 扭转弹簧约束

从“约束就是限制物体自由度的组合”来看，可以打破约束的工程定义，从数学上对约束进行定义。以平面问题来说，约束包括x方向、y方向，以及转动约束3种，即

想象前面所述梁一端的约束情况，一共能有有多少种约束形式呢？如果将没有“约束”也视为一种约束形式，平面内约束的组合数有：

其中，C30 表示3个约束中1个也不取，C31 表示3个约束中取1个，以此类推，可知平面内物体约束种类的个数为8。

如果考虑非理想约束，针对每一个自由度的约束要先选择是理想约束还是非理想约束，约束的组合数为

共有27种约束。其中，C31C21 表示，现在u=0、v=0、dx/dx=0的三个约束中取其中之一，然后再考虑是理想约束还是非理想约束。C31C21C21中取了u=0、v=0、dx/dx=0中的2个约束，因此后面乘两个C21，表示对2个约束分别考虑是取理想约束还是非理想约束。

如果脑子还清醒的话，可以扩展到空间问题，在空间状态下，可以沿x、y、z三轴运动，以及绕3轴的旋转运动，故共有6个自由度。不考虑非理想约束的种类数是

共64种约束。考虑非理想约束，有

牛顿认为力学是“自然哲学的数学原理”，只有找到自然现象中简单的数学规律才能算的上是力学研究。约束的数学本质，需要先与自由度关联，自由度再与坐标方向相关联，由于坐标方向的可数性就决定了约束的可数性，最终将工程上纷繁复杂的约束形式化简为数学上可数的几种基本形式，这几种基本形式又通过它们的组合成为种类繁多的约束形式。

化学家利用有限的化学元素，通过不同元素的不同比例即可组合出各种各样的化合物，让世界五彩缤纷，化学的创新能力无穷无尽。力学的学习也应该向化学学习，努力发现、分解出力学中的“基本元素”，像组合化合物一样组合出新颖的“力学化合物”，让力学的创新无穷无尽，以便更加灵活的解决工程实际问题。

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。