结构振动特征值问题的矩阵摄动法

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　　工程振动问题中经常遇到结构有小改动的情形，例如结构的制造误差、结构的小修改设计、对结构参数改变进行灵敏度分析等。这些情况都有一个共同的特点，就是结构的参数仅发生很小的变化。结构参数的小变化所引起的结构振动特性变化问题，对工程结构优化设计有重要意义。

　　经典的方法是每修改一次方案，就需要求解一次结构的固有特性，即求解广义特征值问题。这对于大型结构的振动分析，是非常麻烦的。我们希望能找到一种能够利用修改前结构的固有特性信息，且计算量小的方法，来解决上述问题。矩阵摄动法就是这种结构特征值重分析和灵敏度快速分析的计算方法。本文仅以孤立特征值情况的矩阵摄动法为例进行介绍。

　　对离散系统特征值问题，假定已经得到了其特征对的解：

　　[K0]，[M0]分别为参数未变化的原结构刚度矩阵和质量矩阵，第i 个特征值 为第i 阶固有频率， 为第i 阶特征向量(固有模态)。结构参数的变化或修改设计，一般通过刚度矩阵和质量矩阵的改变反映出来。即

　　其中，ε 称为小参数。
　　先看 是单根的情形。上标 (i ) 代表第i 个根，下标0 代表参数未变化的原结构。从物理意义上知道，绝大多数情况下，质量阵和刚度阵只有小变化时，特征值和特征向量也只有小量变化，根据摄动理论，特征值和特征向量按小参数ε 展开为：

　　代入方程

　　略去O(ε2) 以上的项，比较ε 同次幂的系数，得到

　　 分别是特征值与特征向量的第一阶摄动和第二阶摄动。因此，只要解出了原系统的特征值和特征向量，并知道了质量阵和刚度阵的改变量[M1]、[K1，就可以求出特征值的摄动解。

　　上述推导过程就是孤立特征值情况的矩阵摄动法，其中，一阶摄动解和二阶摄动解均可通过展开定理和正交性来获得，此处不再一一赘述。

　　来源：节选自百度文库《高等结构振动学——结构振动特征值问题的矩阵摄动法》由2010200025分享