质点振速：声音，不仅仅是声压的天下

gravitation

　　当我们提到声音的时候，第一个想到的物理量是什么呢?大部分人都会说，声压 (p) 或者声压级。声压的测量我们也很熟悉了，一个校准过的麦克风就可以搞定。波动方程里面明明还有另外一个物理量——质点振速 (v，或者u，也可以叫粒子振速)，为什么听到的不多呢?

　　一、质点振速是啥玩意儿

　　一点点原理

　　让我们回到波动方程形成之前，声波在流体介质中的传播。声波为纵波，在介质中的通过质点(Particle)往复运动传播。注意这里面说的质点，并不具有实际的物理意义，不是指空气中的分子。Kuttruff教授说：
　　When speaking of particles it is not the molecules of any gas or liquid we have in mind which perform rapid, irregular thermal motions even in absence of sound, instead, we think of particles imagined as small volumes, each of them containing so many molecules that the effects of thermal agitation can be expected to be averaged out .

　　Jacobsen教授说：
　　The concept of fluid particles refers to a macroscopic average, not to individual molecules; therefore the particle velocity can be much less than the velocity of the molecules associated with Brownian motion .

　　大概意思，都是说质点为广义上的流体分子的平均。

　　假设一个二维体积元(下图灰色块)被限定在管道中，只能在x方向移动。声波向右侧传播。我们从三个方面来分析这一过程。

　　1.力平衡
　　作用在体积元上力的变化为
　　其中dS为横截面的面积。由牛顿第二定律可以得出力平衡公式

　　消掉dxdS，将右侧全微分展开，上公式变成

　　(a). 力平衡; (b). 质量平衡

　　2. 质量平衡
　　用力平衡搞定了(a)图，再来看(b)图。体积元的质量流动为

　　由于质量守恒，上述质量流动引起体积元的密度变化

　　或者


　　3. 状态方程
　　上面推导出的两个公式，包含了声压、质点振速和密度三个物理量。其中，声压和密度之间存在关系，可由状态方程推出。在绝热状态下，声压和密度存在以下关系：

　　由于空气中声波引起的质点振速很小，所以(1)公式中有变最后一项忽略，变成欧拉运动公式：

　　把(4)两边分别取x的偏微分，(2)两边取t的偏微分，联立(3)，就得到了波动方程：


　　质点振速的意义
　　了解完质点振速和波动方程可能又有新问题跑出来：我好好的用声压就可以测量声音，而且麦克风采集声音和人耳听声音的原理是一样的，为什么要管振速呢?原因可以从两方面来解释。

　　声学的故障诊断 (troubleshooting)。在声源附近，传播波的声压和质点振速由于距离缩短，都会增大;由于倏逝波 (Evanescent wave)的存在，近场倏逝波的v>p，推导往下翻。

　　同时，在非声源的硬板上，由于振速是矢量，声压是标量，由于存在背景噪声，导致贴近硬板表面v减小，p增大。从而让背景噪声不再影响质点振速对于声源的判断。

　　这两样特点，让质点振速成为近场声源检测的利器。

　　2. 走进“能量声学”的关键。大家都知道声学最普遍的物理量是声压，然而，声压仅仅能体现声源的部分特点，因为声压的测量受环境影响很大。因此，为了真正了解声源，我们需要声音在源头到底是怎样的。所以，从能量声学的角度，声功率和声强可以更精准地描述声源。声强是声压和质点振速的乘积，而声功率又可以通过声强和表面积或者体积求得。可以看出，声强很关键，而质点振速又是得到声强的关键。

　　看Williams的Fourier Acoustics[5]这本书，可以推导出在近场不考虑空气特性阻抗的条件下，v>p，推导过程如下[前两个公式参考书中P24-25]：

　　还可以从阻抗的角度解释。r越小，距离声源越近，p/v越小，v>p。反之，在k>>1的时候，p~=v。