知与用：理科力学的微积分教学再议

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　　历史决定了有什么可讲，时代决定了选什么来讲。作为一个教员，在可讲和选讲之间，我们以执行方式体现自己的理解。

　　北京大学力学与工程科学系的数学教学体系，沿袭着20世纪50年代开始的传统。这样的教学实践，为一届又一届毕业生打下了扎实的数理基础。不少前辈系友讲过：北大给他/她最大的益处，就是基础(数学)课，无论从事什么样的研究工作，甚至历尽多次政治运动的劫难之后，重启学术之门还是靠最初一两年大学数学的底子。我教过的学生在回访时，也往往持同样观点。随着时间的推移，力学面对的问题有所改变，学生的背景、前景变化更大。选什么讲和怎么讲，近些年一直萦绕于心。

　　按照微积分的路数，首先要回答
　　1. 什么是力学?
　　2. 我们的学生为什么要学(选)力学?
　　3. 如果你有孩子，会建议他/她学力学吗?
　　4. 如果学力学的是你的孩子，你想教他/她些什么?

　　不禁想起十多年前一则轶事。林家翘先生九十华诞的晚宴上，他的同学好友彭桓武先生(他们都是周培源先生的弟子)一袭黄袍，到台前致辞，讲述他理解的理论物理，寿星与他讨论兴起，也跑到话筒前，两位宿儒最终结论：英国的理论物理(彭先生所学的)和美国的应用数学(林先生在美国麻省理工学院首创应用数学系)其实是一回事。

　　今日来看，我觉得还可以加上一条，(理科)力学也属同一回事：数学专营工具，物理格物致知，力学居于其间而兼求有用。此处，夹挤原理似可一(滥)用。没有行当的力学自有其可矜之处：与数学相比，力学家擅长建模，于是可四两拨千斤，不唯有用，而且好用;与物理相比，力学家数学功底更深，不需斥巨资做实验而可探知物理本质(泰勒 (G. I. Taylor)是这方面的典范，设计简单实验抓住流体力学中的核心)。大学生的职业生涯在二十年、三十年的尺度上，而现代科技的一个特点就是变化快，因此他们将会面对的课题往往是当前教育所不能预知的。授人以渔，正是力学的长处。从近年来的情况看，我们的毕业生，特别是出国留学的学生，在去到传统的力学应用领域(包括机械工程、航空航天、机器人、土木工程)之外，更有不少去到应用数学领域(包括计算数学、概率统计、运筹等) 进一步深造。概言之，力学是一个擅建模、能解题、可致用的学科(力学既是基础学科，又是应用学科)，非常适合选作接受本科教育的专业。那么，理想的(理科)力学家是怎样的呢?还是引林先生的话，他认为一个应用数学家，一方面在所从事的应用领域里要成为该领域的内行、一流专家，另一方面由此做出的数学，也应该是高明的数学。我觉得，对于我们的学生，作这样的期许也是完全恰当的。

　　服务这样的目标，微积分教学希望达成以下几个层次的目的：
　　1. 最低的要求是学生会用微积分工具去解题，能算对、算得快。
　　工具不一定能决定一个学生的成功，但工具不掌握好，可以决定他做某些事一定不成功。牛顿创造的范例，就是把物体的运动用微分方程的形式作抽象的叙述，解出微分方程再回到物理的具体解读，从而实现认识世界的目的。假若爱因斯坦没有从洛伦兹那里了解到黎曼流形，广义相对论就无从谈起。庞加莱在《科学的价值》引言里指出，如果没有数学分析这种语言，我们就永远认识不到事物之间密切的类比，于是永远不知道世界的内在和谐。求导、积分这样看似机械(形而上学)的计算手段，实际上正是哲人留给我们后辈锋利无比的干将莫邪。

　　2. 稍上，要求学生懂得微积分的基本概念和关键点，特别是哪些地方是可能错的、容易错的。
　　换言之，知道自己知识的边界。武际可老师曾经用这种思路区分过力学家与(土木)工程师：要盖一座楼，不需要力学家，采用建筑规范工程师就可胜任。但如果依据建筑规范盖的楼倒了，就必须用到力学家了。微积分学习同样如是，一致收敛、绝对/条件收敛的讨论就是典型的案例。能察觉这样的边界，就有可能窥见基础性创新的奥秘。严格的数学分析区别于只会作高等数学计算，正基于这一个边界。前面对于(理科)力学学生的期许，也正是建立在这一个边界上。

　　3. 更上一层，还希望我们的学生理解逻辑、建立自己的理性思维能力。
　　浅而言之，受了严格分析教育的人，应当知道什么是需要证明的，以及什么算是一个证明(他/她如果自己会证明更好，如果不会，可以用数学家听得懂的语言，为数学家提供研究课题)。这样，他/她就可以不为“……，嗨，就是好，就是好呀就是好呀就是好” 这样的断言所惑;也不因众人房子车子票子位子的裹胁，而忘了自己的追求。深而言之，虽然哥德尔说有的命题在体系内不可证，然而，一个理论体系自身按照逻辑推演就会产生矛盾的，不是垃圾，就是新科学的起源，总之是不能想当然地全盘接受下来。掌握理性思维，不意味着我们推导的就一定正确(还依赖于出发点或者假设是否正确)，但至少能够像黎曼函数的可积性证明中所做的，剔除掉一大片函数值小于e的胡言乱语。承认逻辑、具备了理性思维能力的学生，才能成为德赛二先生的使徒。

　　有了上面这些讨论，就可以说说关于怎么教微积分的一点浅见。“概念清，算得快” 仍然是我们的基本思路。
　　1. 先说“算得快”。
　　多元微分、多元积分的计算，本质上仍然就是一元微积分所教的那些：求偏导数就是“睁一只眼、闭一只眼” 地只看一个自变量的求导;重积分一般也是化为累次积分，利用牛顿–莱布尼兹公式一层一层求。因此，有必要提醒上学期学得不理想的同学，务必利用寒假时间补习(主要是简单的求导、求不定积分部分，概念性更强、证明类的问题对于这些同学可以先缓一缓，有机会再提高)。

　　2. 再说“概念清”。
　　虽然对于大多数学生，基本的教学目的侧重在计算那边，但课堂讲授更应强调概念与逻辑，因为这些内容学生较难通过自己的思考弄通理顺。这些概念性部分的学习，可以采用求同求异的办法。求同，就是看看与之前一元情况有什么相同的，利用以前的知识直接掌握吸收;求异，就是看看有什么本质上不同的，例如重积分一章，积分区域就是大不同之处，直接导致需要引入零测集与若当可测集、通过函数的延拓来定义重积分(这跟通过确界定义实数的乘法异曲而同工)，对于这样的地方，要格外加深理解。此外，脑子里形成一些反例也是辨清概念的他山之石。

　　3. 板书是讲授微积分的“正楷”。
　　由于知识量极为厚重，即使以板书来延宕讲课进度，对于大多数学生来说，微积分每堂课的内容也非常充实，因此，应谨慎使用PPT等先进教学手段。微积分不是一个可以高高提起、轻轻放下的课程，上课也不是听戏，必须让大部分学生跟着教员的思路，亦步亦趋地走一遍，才有可能学明白。上过以后学生知道大致讲过些什么、落到习题却上不了手，是微积分教学的大忌。诸如翻转课堂、慕课等先进理念(翻转课堂可以追溯到20世纪60年代曾经推广过的“抛纲式教学”)，如何在严谨的理科微积分教学中成为真正性价比更高的有效手段，还是一个需要摸索的课题。

　　4. 激发学生的兴趣、能动性永远是教学的主要目标之一，但也要让他们认识到严谨的学习不是、也不会是一个全时段、全方位有趣的事情，“只有不畏艰险勇于攀登的人，才能到达光辉的顶峰”。不讨好学生与不故作高冷，同样重要。
　　如果有部分学生，发现自己确实不适合、不喜欢基于严谨思考、逻辑线长的学科的学习，及早让他们通过微积分这样的课程认识自己，无论从个体还是从社会来看，都未必不是一桩好事。需要说明的是，我们从来不认为只有学好微积分的人才是聪明的人、对社会有用的人。教育的终极目的，是帮助学生发现更好的自己、造就更好的自己，而这里“好” 的内涵中，适合做、喜欢做是核心部分，应当由每个人自己(而不是老师、家长或者社会)去判断。有条件进行三学期教学的，建议第二学期、第三学期各64学时(目前北京大学力学与工程科学系采用的方案)，其中第三学期讲授含参变元的积分、级数这两章，再补充测度论和/或流形上的微积分等内容。对于非力学专业、两学期完成微积分教学，且只有64学时的，可以考虑不讲古典微分几何、场论、含参变元的积分。随着计算工具的发展，级数在求解方程等方面的不可替代性减弱了，但完整的微积分教学，级数还是不可或缺的。

　　最后，为力学专业和为此服务的微积分写句宣传语：

　　以理性之力，细思众妙门;

　　藉工程之用，尽展科学之徼。

　　(原文注：本文文字刊载于《力学与实践》2019年第4期，版权归原作者所有。图片来源于网络。)