关于时频分析的杂谈

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　　在我心里，牛顿是活着的，毕达哥拉斯是活着的，欧拉是活着的，高斯是活着的，傅里叶也是活着的，因为我每天都与他们交流。

　　我对牛顿说：天体之间之所以满足万有引力定律，那是因为两个天体只有满足万有引力定律才能做到既相互依赖又彼此独立，这体现出天体之间和而不同的哲学。和而不同是我的最高生活哲学。

　　我对毕达哥拉斯讲：勾股定理是数学的第一定理。泛函分析，解析几何还有调和分析，都是勾股定理的传奇。

　　我对欧拉说：和谐函数 (harmonic) 是数学里最美的事物，她描述着世界上最为美丽的变化——质点的匀速圆周运动。你的公式提供了描述这一运动的工具。

　　欧拉说：我的公式只是勾股定理的延伸。

　　傅里叶对欧拉说：我的变换其实是你的公式的一种应用。

　　高斯对傅里叶说：我的函数经你的变换后长得跟我的原函数一个模样。

　　伽伯(加窗傅里叶变换创始人)说：我的变换只是将傅里叶变换加入了一个高斯窗。

　　莫雷(小波变换创始人)说：我的变换只是将伽伯变换的高斯窗窗长引入一个线性变化。

　　我说：标准时频变换只是将在伽伯变换和小波变换的基础上强调了线通滤波。

　　我还有话说，面对着前辈和读者。

　　1. 滤波是门艺术，类似绘画。
　　西方绘画时总是把画面画满，这叫带通或者全通滤波。中国绘画讲究留白而突出线条，这叫线通滤波。带通或全通滤波会把噪声也夹带其中，而线通滤波则会将噪声影响降到最低。线通滤波是我的发明，我本想申请专利，考虑到以上前辈的工作，我也就算了。俄罗斯科学家也正在摸到线通滤波的脉搏，但她们在线通滤波思想上比我晚了二十多年。

　　2. 伽伯变换里的窗口长度保持恒定，小波变换的窗口长度与周期成线性比例，而在人类的世界里，一种时频变换的窗口长度完全可以与周期成非线性比例，这取决于你的需要和实际情况。
　　标准时频变换就是尽量满足你需要的一种精确时频变换。如果你用伽伯变换或小波变换做事情觉得意犹未尽，不妨试试标准时频变换，你会发觉时频分析原来别有洞天。

　　3. 小波变换的反变换是用不着小波的，而可以用一个harmonic将小波变换反变回去。
　　正如你从武汉去北京，去北京的时候你如果乘火车，回武汉的时候你完全可以乘飞机。这一事实也是由本人发现的。美国一位资深小波专家说这是已知的，但他就是不说这一事实在哪里出现过，可见他在撒谎。另外，俄罗斯人也发现了类似的事实，并兴奋地宣布了她们的发现，但她们的发现在我的发现之后。

　　4. 小波变换的定义有两种，至于选择哪一种，要看你准备做什么。
　　如果你准备做数据压缩，那么请你选择L2-norm小波变换，因为应用于数据压缩的正交小波变换是基于这样的定义的，而且原始小波变换也是如此定义的。如果你准备做时频分析，那么你千万要选择L1-norm小波变换，因为L2-norm小波变换会带来频率的偏差。这一点虽然在2009年我就给出证明，然而国际上依然在犯错误：利用L2-norm小波变换来做时频分析。例如美国引力波探测中用的小波变换就是L2-norm小波变换，这是错误的，至少是不准确的。

　　5. 标准时频分析中的亮点在于对于谐波及准谐波相位的捕捉。
　　如果你想对信号中的子信号的相位存有想法，那么你最好选择标准时频变换工具。知道了相位，你还可以对信号的未来做出预测。

　　6. S-变换是一种很好的时频分析工具，它是Stockwell为了追求逆变换的简单而提出来的，广义S-变换则是这一追求达到极限的一种结果。
　　在这一追求中，S-变换自身并不清楚它在时频变换标准化上已经迈出了坚实的一步。然而，S-变换在这一追求中也付出了代价：抹杀了当地相位!形象地说，S-变换可以告诉你一个钟表的时针有多长(振幅)，且时针的周期是12小时(周期或频率)，但是就是不告诉你现在几点(相位)了。而标准时频变换在能够告诉你时针多长，时针周期12小时的同时，还能精确告诉你现在几点了，这就是标准时频变换的厉害之处。

　　7. 时频聚集的思想近年来挺火，标志性的事件是Daubechies提出了同步挤压小波变换。
　　Daubechies在正交小波变换上是旗帜性人物，其紧支集正交小波基闻名世界，功勋卓著。然而在连续小波变换上她并不是专家，其同步挤压小波变换是在不了解线通滤波思想(尤其是无为原理)下的一种摸索。线通滤波思想已经将有频率的信息聚集于一根时频线(谱脊线)了，还有什么可挤压的?对一个时频变换做挤压后的效果很可能扭曲了这根时频线，这无疑是冒险的和激进的。所以时频聚集的思想并不是可取的，尽管它是那么火。这里我并不是在嘲笑Daubechies，我想说的是：人们不会因为看到了全象而嘲笑正在摸象的瞎子，对于未知世界，我们全都是瞎子。

　　来源：柳林涛科学网博客，作者：柳林涛。