浅谈理论力学中的一般位置

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　　建立力学方程时，一定要将所考察的力学量或点置于坐标系中的一般位置，才能得到正确的方程形式。所谓坐标系中的一般位置，即在直线坐标系中，是指坐标轴的正向;在直角坐标系中，是指坐标系的第一象限。如果没有将所考察的力学量或点置于坐标系中的一般位置，这将引起概念性错误，引起对力学量方向理解的混乱。下面分别选取静力学和动力学中的实例说明问题。

　　在静力学中，各种教材都给出了空间力对任意点的矩的矢量表示：设F 为空间任意一力，其作用点为A，A点的位置矢量为r，如图1所示，则力F 对任意点O的矩为：

　　其中，i、j、k 分别为x、y、z 方向的单位矢量，Fx、Fy、Fz 分别为力矢量F 在x、y、z 轴的投影。

　　图1 空间力对任意点的矩

　　推导公式时，实际上是默认矢量r 和F 都应处于第一象限，这样所得公式才具有一般意义。在具体应用该公式时，无论矢量r 和F 实际处于第几象限，都可以将其投影值直接代入上述公式进行计算。如果在推导上述公式时，没有将矢量r 和F 放置于第一象限，则会在实际计算时带来混乱，搞不清力F 对各轴的矩到底是什么方向。

　　动力学中，列写质点运动微分方程时，也要特别注意将动点的位置置于第一象限，所得方程才是运动微分方程，否则只能是力与加速度的关系。例如下面的弹簧质量系统：将原长为l0、刚度为k 的弹簧和质量为m 的物块放置在光滑的水平面上，弹簧左侧固定在竖直墙上，设物块自平衡位置的初始速度为v0，试求出物块的运动方程。

　　图2

　　这是已知力(弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。可以先列出物块的运动微分方程，然后求出其运动方程。以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox 坐标系，如图2(a)所示，将物块置于任意位置x>0处，物块受力F=-kxi。根据直角坐标系中的质点运动微分方程的列法，可得：

　　通过求解这个微分方程，可以得到物块在平衡位置附近进行振动的运动方程：

　　如果建立图2(b)所示的坐标系，坐标原点位置与图2(a)相同，但坐标正方向与之相反。仍然设弹簧伸长了一段长度，这时物块的受力如图所示。这时可得：

　　解此方程，将不能得到物块在平衡位置附近进行振动的正确运动方程。现将原有解释如下：

　　根据运动学中的定义，

　　ax 即物块加速度在轴Ox 上的投影，可知：若x>0，

　　由

　　则有ax<0，且x>>0，有|ax|>>0;

　　由

　　则有ax>0，且x>>0，有|ax|>>0。

　　这意味着当物块处于轴Ox 的正方向时，由

　　其加速度与轴Ox 相反;

　　而由

　　其加速度与轴Ox 相同，加速度在竖直上均与坐标值成正比。若x<0，由以上两式可有与上述相类似的结果。这说明上两式虽然只相差一负号，但

　　为振动方程，而

　　为加速度运动方程。

　　上式绝不动描述质量-弹簧系统的振动性质，原因即在于没有将动点置于坐标系的一般位置。因此，进行动力学建模时，一定要将数学方程与物理性质结合起来考虑，将动点置于坐标系的一般位置。

　　以上对理论力学中一般位置作了一些简单的介绍和总结。一般位置不仅在静力学和动力学中有应用，在运动学中也有应用，在学习和使用时，一定要加以注意，将所研究的力学量或点置于坐标系中的一般位置，才能得出正确的方程形式。否则就会出现理解上的困难，甚至错误。

　　参考文献：
　　[1] 郝桐生编、殷祥超等修订，理论力学(第3版)，高等教育出版社，2003
　　[2] 哈尔滨工业大学理论力学教研室编，理论力学(第六版)：上册、下册，高等教育出版社，2002
　　[3] 范钦珊主编，理论力学，高等教育出版社，2000

　　来源：慧明力学微信公众号(ID：lx_zhm)，作者：赵慧明。