鸡兔同笼与弹性力学的方程思想

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　　已知鸡和兔同在一个笼子里，头有35个，脚有94只。问笼中有多少只鸡，多少只兔?这是我国历史上著名的鸡兔同笼问题，现在也成了奥数的经典题目。


　　鸡兔同笼问题在我国已经流传了1500多年(出自《孙子算经》，成书于公元4-5世纪)，有多种求解方法。不用方程，一种有趣的解法是先假设鸡和兔能听懂人话，然后一个人下命令：所有动物都抬起一只脚， 94-35=59，地上还有59只脚;再抬起一只脚，59-35=24，还有24只脚，此时鸡一屁股就坐地上了，站着的全是兔子，每只兔子两只脚，24/2=12，得兔子12，再35-12=23，得鸡23只。


　　这种方法虽然有效，但其通用性较差。设未知数、列方程则是这类问题的通用方法，让求解变得简洁、明了。先设笼中有鸡x只，兔子y只。然后，依据题意，列方程：


　　  · 脑袋数：x+y=35

　　  · 脚数：2x+4y=94


　　解上述方程组，得 x=23，y=12。则得鸡、兔数目。


　　在求解鸡兔同笼问题中，首先要设出未知数(鸡有x只，兔子y只)，然后依据题目求解未知数满足的等式(2个未知数列两个方程，x+y=35，2x+4y=94)，最后求解(x=23，y=12)。从设未知数、列方程、求解这三个步骤看，弹性力学的理论体系和鸡兔同笼问题具有一致性，也是设未知数、列方程、求解三个步骤。以下我们重点来讨论弹性力学是如何以这三步构建的理论体系。

　　一、弹性力学的未知数

　　设未知数和要求解的问题紧密相关，那么弹性力学要解决什么问题呢?


　　在材料力学中已经指出，变形体力学主要解决三类工程问题：强度、刚度、稳定性，这也是弹性力学的工程目标。但是材料力学只能解决细长结构，如杆、轴、梁的强度、刚度、稳定性问题。


　　然而，在生活中放眼一望，非细长结构在我们的日常生活中占据着主要地位，如吃饭用的锅、碗，居家的房子，路上跑着的汽车，天上飞着的飞机…，实际上细长结构在我们的生活中只是一类“特殊结构”，也就是说除了“细长结构”下，大量的工程问题材料力学无能为力。弹性力学的工程目标就是突破材料力学的这一局限，解决一切形式工程结构中的强度、刚度、稳定性问题。反过来，为了这一工程目标而形成的一般理论，又可以在特殊情况下，去证明材料力学中某些结论的正确性。


　　怎么解决一切形式的结构问题呢?弹性力学想到了微元体。


　　微元体的好处就是可以组成任意形状的结构，这就突破了材料力学细长结构的限制。如图1所示的任意形状的物体，考虑其上任意一点P，画出P点的微元体。由于所取点的任意性，只要研究清楚一点处的情况，就可以推广到物体上任意一点的情况。

　　图1

　　考虑微元体的受力和变形情况，可以通过应力、应变和位移三类力学量来描述，如下：


　　  · 应力分量：σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx
　　  · 应变分量：εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx

　　  · 位移分量：u，v，w


　　这里一共有6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，共15个量。回顾一下材料力学是如何解决工程中的强度、刚度、稳定性的。


　　对于强度问题，第一强度理论最大拉应力理论，第二强度理论最大伸长线应变理论，第三强度理论最大切应力理论，第四强度理论形状改变比能理论。很明显，如果我们能求出P点的应力、应变，强度问题就可以解决。


　　刚度要求指构件在变形过程不能超过规定的最大变形量，如果我们能够求出P点位移分量，那么刚度是否满足要求也可以判定。


　　稳定性问题在材料力学中的核心是研究结构失稳的临界载荷，载荷换算到内力上，就可以用应力来表示，也就是说求解P点应力就可以解决P点的稳定性问题。


　　再强调一遍，由于P点的任意性，也就是说P点的求解结果，同样适用于物体上任意的其它点，当我们把物体上所有点的结果都求出来了，整个物体上的强度、刚度、稳定性问题也就都解决了。所以，前面提到的6个应力分量、6个应变分量和3个位移分量(共15个量)就是弹性力学的待求未知量(由于这些量有确定的力学含义，纯数学方程中的称为未知数，这里称为未知量)。

　　二、弹性力学的基本方程

　　理解了弹性力学中的未知量，剩余的就是如何列方程和求解方程的问题。我国古代数学家刘徽在《九章算术.方程章注》中说，“程，课程也。群务总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”其中，“二物者二程，三物者三程”求两物的数列两个方程，求三物的数就列三个方程。显然，有几个未知数，就需要列几个方程。


　　在弹性力学中15个未知量就需要列15个方程，如下所示，有平衡方程3个，几何方程6个，以及物理方程6个，恰好15个方程构成封闭方程组。只不过这些方程变成了偏微分方程，要比鸡兔同笼问题中的代数方面要复杂的多。


　　平衡方程：

　　几何方程：

　　物理方程：

　　三、弹性力学求解

　　再来看求解，对于求解线性方程组，常用消元法先将未知数的数量减少，然后再求解。求解弹性力学大致也是这样，必须先减少未知量的个数才能求解。弹性力学问题求解有两类方法，力法和位移法，实际上力法就是将所有未知数都用应力来替代，而位移法是将所有的未知数用位移来替代，如果从线性代数、方程组角度来看就是消元法。


　　另外，从弹性力学的基本方程可以看出，组成弹性力学基本方程的平衡方程和几何方程都是偏微分方程，求解微分方程必然会产生积分常数，而积分常数的确定就必须补充边界条件，只有在一定的边界条件下，弹性力学的解才是唯一的。


　　试想一下，同样是混凝土，做成水库的大坝、盖成高楼大厦、抑或做成桥梁，如果用弹性理论求解，这些结构所满足的基本方程都是前面所说的15个方程，但它们的解肯定不一样。这正是因为边界条件的千差万别，才造成了现实世界中弹性力学解的丰富多样。

　　结 语

　　以此来看，弹性力学的基本思想和求解鸡兔同笼问题的基本思想是一致的，都是先设出未知量，然后列出未知量满足的基本方程，最后通过消元法求解。画出鸡兔同笼问题与弹性力学的对应关系如下表格：

　　在弹性力学学习中，理解了弹性力学的工程目标和方法，设未知数相对简单，重点就是列方程和求解，可以说弹性力学有两大主要内容：


　　  · 一是构建弹性力学的理论体系(列方程，包括设未知数);


　　  · 二是如果求解弹性力学问题(求解方程，包括边界条件)。


　　来源：力学酒吧公众号(ID：Mechanics-Bar)，作者：张伟伟 太原科技大学。