科普：飞机为什么能够飞起来？

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　　我们平常见的鸡毛、纸片等轻的物体能够被风吹上天去，可是像波音飞机那样起飞重量有三百多吨和四百吨的庞然大物，居然能够飞起来， 1988年底首次升空的苏联安-225飞机，起飞重量达508吨。在一般人看来这实在是人们匪夷所思的奇迹。

　　正由于此，许多科普书上要讲飞机升空的道理，它成为科普书上常见的一个话题。尽管科普书上有许多解释，我这里还是要说一说。这一来是因为这个问题比较重要，从不同角度讲一讲，对读者也许会理解得更好;二来是因为有的书上把这个问题回答得过于简单，容易引起误解，产生错误，有必要说得仔细一点。

　　首先，飞机的升空是靠的空气动力，它和气球飞艇靠空气浮力升空不同。气球和飞艇是由于比重比空气小，受到空气向上的浮力升起来的。由于飞机的比重比空气大很多，静止的飞机是不能升空的，只有当它动起来而且达到一定的速度才能飞离地面;就是直升飞机，也靠的是空气动力，也需要它顶上的旋翼旋转到一定的速度，才能升空。

　　其次，所谓飞机动起来，无非是要求飞机与空气有一个相对的速度。鸡毛静止时，如果没有风也是飞不起来的，鸡毛能飞起来是因为风吹过来，也就是说鸡毛与空气有一个相对速度。由此思考，一个物体所受的空气动力，物体运动空气静止和物体静止空气以同样的速度流动，是没有区别的。也就是说，让物体以速度V 在静止的空气中运动所受的力和物体不动，空气以速度v 运动所受的力是一样的，基于这个道理，人们才发明了风洞，使空气在风洞中以一定的速度流动，把物体的模型固定在风洞里去测量它的受力状况。

　　有了这个基本了解，我们来回答关于飞机能够飞起来的问题。最直接的回答是，这是一个实验事实。

　　如图，一个任意形状的物体在速度为V 的均匀流动空气中，它的受力一般来说，不会恰好与空气流速的方向一致(除非物体和流场是完全对来流的方向对称的)，不妨把它记为力F，这个力可以分解为与空气流动速度一致的我们称之为阻力的Fx，和与来流垂直的我们称之为升力的Fy。从直觉我们就知道力F 的大小和方向取决于空气的流速与物体的形状和它相对于流动速度的姿态。飞机之所以能够飞起来，从根本上来说，就是靠的这个升力Fy，于是人们就要想办法寻找升力最大而阻力又最小的那些物体的形状和选取相对来流的合适的角度。这个问题首先就归结于实验。

　　最早进行升力实验的是英国人乔治·凯利 (George Cayley,1773-1857)。在他之前，人类几千年世代向往像鸟一样的飞翔，不过在想象中的实现技术上，飞翔也会像鸟一样的靠翅膀的扑动来飞起。为此达·芬奇还做出了具体的设计。凯利则开辟了另外一条途径。

　　乔治·凯利幼时没有受过什么教育，但他自幼好学。他的自然科学知识主要来自一位家庭教师，是当时的有名数学家乔治·瓦克，瓦克很喜爱凯利的聪明好学，便将自己的女儿嫁给他。

　　在乔治·凯利10岁时，他听说法国有人利用气球升空成功，从那时便对航空产生兴趣并且一心向往。凯利也像达·芬奇一样，从小就对鸟的飞行进行了大量的观察，他最早认识到鸟的翅膀同时具有产生升力与推力的功能。大约在1796年，他仿制和改进了中国的竹蜻蜓。之后他对竹蜻蜓的兴趣一直保持到晚年，在25岁的时候，曾根据竹蜻蜓的原理设计了一架直升机。据凯利后来说，这个直升机进行过多次成功的飞行。后来凯利还设计与制造了一架滑翔机。

　　当时凯利能够使用的实验装置是在若宾 (Benjamin Robins,1707-1751) 所设计的如图所示的悬臂机。不过在他之前这种悬臂机主要是用来测量物体运动的阻力的。实验时，将模型固定在悬臂的端部，当悬臂旋转时，由转速和悬臂的长度可以计算出模型的速度，在悬臂达到匀速旋转时，同时由驱动悬臂旋转的重物就能够计算出模型所受的阻力。不过，它有一个缺点，就是当悬臂旋转了一些时间之后，空气或水会随着悬臂一同旋转，这样会使实验的精度大受影响。

　　为了对空气的阻力与升力进行定量研究，1804年12月，凯利自己设计和制造了一架悬臂机，用于研究平板的升力和阻力。利用这个装置，凯利得到了最早关于升力和速度方面的数据。他初步的结果是，平板的升力与面积成正比、与迎风角成正比、与速度的平方成正比。他在悬臂机试验中还发现了流线型对减少阻力的重要性。后来经过许多人的研究改进，平板模型的升力在小攻角的情形下可以用公式表达如下：

　　这里，ρ 是空气的密度;α 是平板与来流的夹角，也称为攻角;A 是平板的面积;v 是运动速度;Cy是升力系数。有时人们将ρ、sinα 和1/2都并入升力系数中。

　　1809-1810年凯利分三次在英国的《自然哲学、化学和技艺》杂志上发表了题目为《论空中航行》的论文。这是世界上最早的航空论文，也是世界上现代航空的标志。所以凯利后来被人们称为“航空之父”。在论文中，他明确说：“全部问题是给一块平板提供动力，使之在空气中产生并支持一定的重量。”文中他经过精心计算，给出了一架飞机的设计参数，换为现在的单位：当平板的面积为60平方米、迎风角为6°、速度为每秒10米时，升力可以支承90千克的人机总重。他并且说：“如果这块平板能在动力作用下高效率运动，空中航行就会实现。”

　　后来凯利还研究了飞机的飞行稳定性、操纵性和安全性，为了保证这些性能，他建议在飞机上机翼上设置反角、在飞机身后加尾翼、在尾翼上装置可转动的垂直尾翼等。这些建议都为后来的飞行证实是有效的。

　　受时代的限制，凯利当时还没有合用的发动机，甚至连瓦特的蒸汽机也还没有。所以他没有办法实现他的设想。不过在1849-1853年间，他设计并且试制了供载人用的滑翔机。

　　后来，在凯利逝世后的半个世纪，美国的莱脱兄弟实现了飞机飞行，他们利用了凯利的研究结果，并且自己设计制造了风洞，进行了数以百计的机翼剖面形状的选择，终于在1903年实现了载人的飞机飞行。后来大莱脱曾说过：“我们设计的飞机，完全按照凯利爵士的非常精确的计算方法。”所以后来西方的航空专家都称凯利为航空之父。

　　在人类实现了飞机飞行之后，世界各国都建造了各式各样的风洞，进行机翼和飞机升力阻力的实验。其目的无非要选用升力尽可能大，而阻力尽可能小的翼型和机型。

　　回过头来我们再看一看关于升力的公式，它说明升力是与运动速度的平方成正比的，这就是为什么世界上所有的飞机场都建有相当长的飞机起飞跑道的道理。飞机只有在跑道上加速，当速度达到一定大小时，机翼才会产生足以支持飞机重量的升力，才能够飞起来。即使是战斗机，也需要在起飞之前的一段加速，所以在航空母舰上也有适当长的跑道。当飞机降落时，这些跑道又起着把飞机从高速度通过“刹车”减速到静止的作用。知道了飞机要飞起来，必须有一定的速度的道理，所以飞机在飞行中为了持续飞行，必须保持飞机的速度在一定的速度之上。如果驾驶员为了提高机翼的升力，给出过大的机翼攻角，这时，机翼的阻力也会加大，阻力加大了，飞行速度就会减下来，减小到一定速度之下，升力就不够大了，就会掉下来，这就是所谓的飞机“失速”。经常是不适当驾驶造成空难的原因之一。

　　凯利之后到现在有一个半世纪了，流体力学的理论虽然有了长足的发展，可是要纯粹由理论来计算机翼的升力和阻力仍然有很大的困难，实验仍然是最主要的测量升力和阻力的手段。尽管如此，对飞机的升力追求一种简单而明了的理论解释，一直是人们追求的对象，这也就是迄今在许多科普书籍和教材中出现大量对升力通俗解释的原因。不过现在比较流行的几种通俗的解释，其中有些是错误的，有些容易引起误解。我们需要加以说明。

　　第一种比较普及的解释。如图是一个机翼的剖面。

　　这种解释说：“因为飞机机翼切面上方凸起、下方较平，空气流线被机翼切面分成两部分，空气从机翼上方通过的距离较长，下方通过的距离短，因而使得机翼上下的空气流速不同，即上边流速大下边小，根据流体力学伯努利定律，机翼上下的压强也不同，即上部气压小，下部气压大，因此在机翼的上下方形成了压强差才使飞机有了升力。”这种说法可以简称为“升力的伯努利定律说”。

　　这种说法在国际上比较流行，甚至上了一些教科书和飞行员培训材料，影响很大。说法的“机翼上表面压强低，下表面压强高”，是对的，也是符合实验事实的，引用的伯努利定律也是没有问题的。不过它说的“由于上表面长，所以速度快”的道理是站不住脚的。理由如下：

　　为什么路径长就快，短就慢?其中隐藏了一个论断，就是同时到达机翼前缘的两个流体质点，一个走机翼上边，一个走机翼下边，它们会在机翼的后缘同时到达相会。只有在分离与相会的同时性的前提下，才会推论机翼上边的流速必然大的结论。不幸的是，这种同时性的原则是不存在的。为了说明这个原则是错误的，注意下图，它是一个以速度V 流动的均匀流场，如果在流场内插入一根橡皮管子，在管子的入口处分离的两个流体质点，一个沿直线AB流动，另一个进入橡皮管绕了一个大弯子流到 B，难道它们会同时到达B吗?极而言之，如果直线AB只有一米长，而橡皮管有一百米长，它们也会同时到达B吗?显然不会。所以这种同时性原则是不存在的。

　　其次，这种解释，忽略了一个重要的事实，就是机翼的姿态或者说机翼对来流的相对角度对升力的影响。按照这种说法就无法解释在飞机做特技表演时，飞机可以上下颠倒飞行，即机翼的弯曲的一边处于下面，平直的一边处于上面，照样能够飞行。就是说，把机翼上下颠倒后，这时，机翼的升力仍然是向上的。

　　第二种比较普及的解释，也是比较早先的解释，是基于气流动量在机翼下侧反射所形成的反作用力。

　　如图，根据动量定律可以得到

　　按照这个式子，当攻角α 很小时，sinα2 就更微小了。所以在小攻角下升力也会很微小，就是说在这种条件下飞行是没有指望的。由于这种解释的主要根据是牛顿第三定律，即作用力与反作用力大小相等方向相反的定律，所以著名力学家冯卡门风趣地说：“牛顿耽误了飞行。”由于近百年来对于机翼和航空的研究很多，这种解释在航空界大致是消失了，不过，帆船的风帆和摇橹的橹板也可以看作是一面机翼，有时在人们解释风帆的受力和帆船能够逆风行进时，或是解释橹板受力还会遇到这种解释。

　　这种解释的问题还在于，虽然考虑了机翼的攻角影响，但忽略了机翼形状对升力的影响，特别是忽略了平板背后形状的影响，就是说机翼的背风面不管是什么形状，升力都是一样的，这当然是不对的。其实，机翼的整个外形，包括迎风面和背风面都会对升力产生重要作用的。

　　说了已有解释中的问题，也许你会问，有没有比较简单，但没有这些问题的解释呢。有，不过话需要说得稍长一点。

　　所谓“解释”无非是用迄今为止人类已经有的力学理论知识来给出升力产生的说明，因之，我们需要回顾和归总一下与此有关的理论知识。也就是说，盘算一下我们能够应用的理论“武库”中的“武器”究竟有几件。一共有如下三件：

　　  · 牛顿力学，即牛顿三定律。这是任何运动物体所必须遵循的规律，当然飞机也不例外。

　　  · 理想流体模型。这是1757年，在彼得堡工作的数学力学家欧拉 (1707-1783) 发表的论文中提出的一种流体力学模型。并且建立了流体运动的基本方程，即连续介质流体运动的欧拉方程，奠定了流体动力学的基础。不过这种模型没有考虑流体的粘性，因而称为理想流体模型。


　　  · 粘性流体模型，或纳维- - 斯托克斯方程。这是1821年由法国学者纳维 (1785-1836) 导出，1845年由英国学者斯托克斯 (1819-1903) 完善的一组描述考虑流体粘性的方程组。是迄今能够描述各种流动现象，包括湍流等复杂流动现象的方程组。不过求解它的难度太大，能够得到准确解的情形是屈指可数的。

　　我们就来用这三宗理论解释机翼的升力问题。

　　不难理解，飞机定常飞行，是有一个作用在它上面的重力Q 向下，需要一个向上的力Q 才能保持在空中飞行，这个向上的Q 力，由什么给出呢?牛顿定律告诉我们空气的运动会产生力，也就是说需要有空气向下加速度的运动，才能产生向上的反力亦即，设空气的质量为M，向下运动的速度分量为u 则由牛顿第二定律，必须有

　　这说明，飞机所以能够飞行，是由于空气经过机翼时，产生了方向变化具有了向下的加速度。从这个意义上来说，机翼实际上是飞行过程中的“导流片”，这就是机翼的作用，机翼改变气流方向的能力愈强，它的升力性能愈好。这样我们就从定性的角度回答了机翼升力的问题。不过它显得过于粗略，没有办法对升力进行定量估算。

　　有一个附带的结果是，既然流体经过机翼时具有向下的加速度，那么这使机翼的上边压强一定会降低，于是飞机两侧的空气会流向飞机上边，这就会在飞机后面形成两个大的尾涡，如图，有时，跟在大飞机后面的小飞机，如果进入大飞机的尾涡区，是很危险的。

　　下面，就要考虑用流体力学的模型来解释了。

　　我们先来看理想流体的模型能不能解释飞机的升力问题。这早在1752年法国力学家达朗贝尔 (1717-1783) 就给出了否定的答案。他在论文“流体阻尼的一种新理论”(Essai d'unnouvellethéorie de la resistance des fluides一文中，从理想流体动力学的微分方程出发，严格证明了一个定理：物体在大范围的静止或匀速流动的不可压缩、无粘性的理想流体中作等速运动时，它所受到的外力之和为零。这是与实际情况完全不符合的一个结论，这就是著名的达朗贝尔佯谬 (D' Alembert's paradox)。 也就是说，在无限的静止的理想流体中做等速飞行的飞机无论是升力还是阻力都是等于零的。其原因就是忽略了流体的粘性的缘故。就是由于这个佯谬 ，才刺激人们对流体阻力的研究，才有后来纳维- 斯托克斯方程的提出。

　　回过头来看前面的“升力的伯努利定律说”，由于伯努利定律可以看作是理想流体的推论，它并没有考虑流体的粘性，所以单纯从伯努利定律同样是不能解释机翼的升力问题的。前面列举的它所导致的矛盾，就是因为它想纯粹由伯努利定律来解释升力的产生所引起的。

　　这么说来，是不是意味着要由纳维-斯托克斯方程表述的粘性流体力学模型来讨论机翼的升力呢?遗憾的是就是到现今，要根据边界条件来求解纳维-斯托克斯方程仍然具有不可克服的困难。另外理想流体的模型和伯努利定律，虽然不能纯粹由它来解释机翼的升力，不过由于它的简明性，我们应当把它用足，即是说，在用它能够得到近似结果时就尽量用它。

　　这种方案早在一百年以前，就由德国的力学家库塔 (1867-1944) 和俄罗斯的茹可夫斯基 (1847-1921) 解决了。他们的解决思想要点可以这样来说。

　　他们首先把理想流体流动再进行简化，考虑它们是无旋流动。这是一种假定流体每一个微团在运动时都没有旋转的流动。这种无旋流动经过德国学者赫姆霍兹 (1821-1894) 和英国学者开尔文 (1824-1907) 的研究，认定如果理想流体在运动的初始的时刻是无旋的，并且所受的外力也是无旋的，那么它的运动就会是永远无旋的。这就为把理想流体简化为无旋运动提供了理论根据。其次，他们把机翼看作是无限长的，这样只需要讨论它的一个截面来讨论。即把一个三维问题简化为一个二维问题来讨论。这样一来，对于定常流动下机翼的升力问题就简化为一个任意求解的二阶偏微分方程的外部问题，即通常的拉普拉斯方程的外部问题。

　　首先用这个简化了的二阶方程解机翼的外部问题，定解条件是左右无穷远都是均匀的速度，在机翼边界只有速度的切向分量。解得的流场如下图A。如所预期的，这个流场不会产生升力也没有阻力。不过，仔细看这个流场会发现有：

　　  · 第一，流场有前后两个驻点，在那个地方流速一定是零;


　　  · 第二，在后缘处，流速是无穷大，这是前人经过严格证明的结论，即在流场任何角度大于 180°的地方，流速都是无穷大，机翼后缘一般都是满足这个条件的。


　　在理想流体中，不同流线，即使是无限接近的相邻的两根流线上的速度也可以相差很大。因为它们之间没有摩擦，即粘性。须知我们现在面对的真实的流体，一方面后缘速度无限大是不可能的，另一方面不同流线的速度要通过粘性传递。小速度的质点，必然会把相邻的速度大的质点减慢。于是，速度为零的后驻点，必然会逐渐向开始速度接近无穷的后缘移动，最后结果必然是后驻点逐渐移到后缘。注意，这一点，是用到粘性流体性质的关键的一点。即，由于流体的粘性，后驻点必然位于后缘上。

　　在运用粘性得到了流场的大致性质之后，我们还是要回头尽量用理想流体的模型来做解释。既然原来的后驻点移向后缘，那么在原来后驻点的地方应当有一个移动的速度。由于这个速度，又由于流体的不可压缩性，于是沿着机翼周围这根流线，每一个地方都必须增加这个速度。这就形成一个环流。所以我们还需要求解一个在机翼表面具有常速度的环流，在无穷远处速度为零的定解问题B，这个问题仍然是一个理想流体的无旋流动问题。把这两个问题A 和B 得到的流场相叠加，就是真实的流场C。其中问题B 在机翼表面的速度是由把后驻点移到后缘的条件来确定的。这个条件也称为库塔-茹可夫斯基条件。有了流场C，我们就能够根据流场在机翼表面上各点的速度，再由伯努利定律计算各点的压强。最后自然会得到机翼的升力。

　　下面的两幅图是转引自冯卡门所著《空气动力学的历史》一书，冯卡门又是引自他的老师普朗特的著作。上边的一幅是刚开始流动时流场的照片，说明后驻点不在后缘;下边一幅是当流场不再变化已经进入定常状态时，后驻点已经移到后缘了，流场是采用铝粉来显示的。这个实验充分说明库塔和茹可夫斯基在处理这个问题上是符合实际的。注意，下边那幅图从后缘出发有一条反时针卷曲的虚线，这是作者用理想流体的涡量守恒定律来解释环量的产生的。理由是，既然为了把后驻点移向后缘，需要在机翼表面增加一个顺时针的环量，那么由于涡量守恒，必然存在一个反时针的涡量。这样一来，除了后驻点后移这一点以外，几乎所有的环节都可以用理想流体的模型来解释了。而且有实验证明，这样的解释也大致是符合实际的。正因为这样，他们用这个方法得到的升力与由实验得到的升力相差不大。后来成为估算机翼升力的主要方法。

　　他们最后得到的机翼的升力结论是：任何横截面的柱形物体，设在密度为ρ 的流体中运动的速度为U ，并且在它的周围存在着数量等于Γ 的环流，则在柱形物体的单位长度上的升力等于ρUΓ 。环流是取一根包围物体的闭曲线，把曲线分为小段，将曲线段上沿曲线切线方向的流体速度分量的平均值乘以曲线段的弧长，然后逐段相加，结果就是环流量。

　　上面介绍的库塔-茹可夫斯基理论，是20世纪初提出的，具体说来，库塔的论文是1902年发表的，而茹可夫斯基的论文是1906年发表的，就是说，他们的工作对1903年莱特兄弟的飞行成功，影响不大。莱特的成功主要还是基于开始凯利和后来人们陆续做的实验结果的。不过库塔和茹可夫斯基的工作为后来早期航空工业的发展提供了理论基础。后来成为估算飞机升力最重要的理论根据。不过，用这种解释，虽然对机翼的升力估计较好，但要准确估计机翼的阻力，还需要回到纳维-斯托克斯方程。

　　随着航空事业的发展，关于机翼的升力理论还有花样繁多的进展，如有限翼展问题、跨音速和超音速机翼问题、后掠机翼问题等等。我们开始的主题是关于飞机为什么能够飞起来的，既然我们前面已经解释了它的升力主要是靠实验得出的，又介绍升力的产生和计算，已经保证飞机能够飞起来了。至于飞起来后，如何飞得快、飞得平稳、飞得好，它需要更多的知识，这些细节我们就不去细说了。

　　参考文献：
　　[1] Prandtl’s，Essentials of Fluid Mechanics，Second Edition，Springe-Valag，2004
　　[2] 马丁·宋贝，“伯努利升力原理”批判，力学与实践，1993 年第 4 期,74-78
　　[3] von Karman,Aerodynamics History and Analysis of Flight,McGraw-Hill,1954

　　来源：武际可科学网博客，作者：武际可教授，北京大学力学系。