阻尼模态理论基础知识之三个典型阻尼模型

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　　结构系统动力学分析中，特别是动响应分析，阻尼的作用是不可忽略的，由于阻尼的存在，结构系统的模态特性呈现出复杂性。

　　结构系统在其振动过程中，阻尼的产生有多种原因，来自多个方面，有介质阻尼，材料阻尼，摩擦阻尼，以及结构阻尼等。不同类型的阻尼是由不同的机理生成，难以用一个简单的统一的规律作综合的描述。而且它们的阻尼机理也都比较复杂，作用在不同的结构系统有不相同的定量规律。这样，阻尼的分析不可能象刚度与惯性那样通过分析来建立它的特性矩阵，目前只能对具体结构系统作试验实测，给出它的定量结果。

　　阻尼从运动角度看，它起阻碍运动的作用，其阻尼力的方向是与运动方向相反。阻尼力大小的具体规律受多种因素影响，往往需对具体问题作具体分析，且只能突出主要因素通过实验加以测定。阻尼从能量角度看，它消耗结构系统的能量，其量值可用它在振动一周内所耗散的能量来度量。由于阻尼机理的复杂性，缺乏统一的规律性，在工程上只能采用简单模型用能量等价的方法作简化处理。下面首先对三种典型阻尼的机理分别作个简要介绍。

　　一、粘性阻尼模型
　　结构系统最简单的一种阻尼模型是粘性阻尼模型，由于它是一种线性阻尼模型，被广泛应用于结构动力学分析。粘性阻尼的机理是基于在粘性流中流动的物体所受到的一种阻力，它的大小与运动速度成正比，运动速度越大则所受的阻力也越大，它的方向是与速度反向，对于一个质点来说，它粘性阻尼力的数学表达式可写为：

　　其中，v是质点的速度，c是介质的粘性阻尼系数。由于粘性阻尼的存在，在运动过程中要耗散能量，它在单位时间内耗散的功率如下：

　　若结构系统是个连续系统，在粘性流介质中运动时产生有分布阻尼力。它也用粘性阻尼力的数学表达式表示，所不同的是它是位置坐标xi的场变量。它所耗散的功率：

　　D称之为耗散函数，当结构系统进行离散化后，离散化结构系统的阻尼力列阵是：

　　它的耗散函数是：

　　其中，[C]称为粘性阻尼矩阵。有限元法主要采用的是这种线性阻尼模型，在以后的分析中若不作特殊说明时，所涉及的阻尼都采用这种粘性阻尼模型。

　　二、材料阻尼模型
　　结构系统的另一种重要阻尼是由材料内阻产生的。结构系统发生不断的往复运动时材料内部阻尼将消耗其机械能，这种材料内阻与材料性能有关，取决于材料的本构关系。材料的弹性性能由虎克定律用下式表示：

　　材料阻尼所产生的阻尼应力σe认为是与应变率成正比，设其比例系数是g，且阻尼应力的方向与应变率反向，即：

　　则这种阻尼材料的本构关系是：

　　这种简单的材料阻尼模型，称之为Voigt模型。设结构系统以频率ω作简谐振动，其应变分量也按简谐规律变化，即：

　　则它的总应力是：

　　其中复模量：

　　是Voigt型阻尼材料的复模量。

　　材料阻尼有多种阻尼模型，它的一种描述形式是用其复模量。它的实部是其弹性性能，它的虚部是其阻尼性能。一种最简形式是：

　　但这种形式实用上有非常大的局限性，只适用于单自由度系统作简谐振动的情况。

　　目前比较广泛使用的材料阻尼模型是粘弹性阻尼模型。它是建立在材料的粘弹性本构关系基础之上的。这种粘弹性材料性能是与其变形历史有关，且具有渐忘记忆特性。它的本构关系在拉氏域内的描述有与虎克定律相似的形式，即：

　　其中E(s)是拉氏域内的复模量，它的一种标准导数模型可用拉氏变量的有理分式给出，即：

　　这种粘弹性阻尼模型的引入是对材料阻尼的一种较好的描述，它给出了阻尼的频变性能。

　　三、摩擦阻尼模型
　　结构系统是由构件组合而成。各构件之间存在着间隙和摩擦，它们构成摩擦阻尼，在结构系统发生振动时它要消耗能量。它的一种最简单的阻尼模型是库伦摩擦阻尼模型，库伦摩擦力为：

　　其中N是正压力，μ是摩擦系数，dur/dt是摩擦副之间的相对速度。这是一种常见的阻尼模型，但它是一种非线性阻尼模型，在分析计算中有众多困难，这里将不作进一步的分析。

　　为在实际分析中能考虑各类阻尼的耗能作用，可以用当时粘性阻尼来替代。以库伦摩擦阻尼为例，当结构系统作简谐振动时，在一个周期内库伦摩擦力所消耗的功约等于4μNxm，其中xm是其振幅。而当量粘性阻尼力的功是πcfωxm2  。于是，它的当量粘性阻尼系数应是：

　　这样，可以近似地将它与粘阻尼系数合并来考虑摩擦阻尼的作用。

　　来源：整理自百度文库《阻尼模态理论》