什么是Lyapunov指数？有什么物理意义？

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　　Lyapunov指数是非线性动力学中的重要概念，广泛应用于混沌系统的分析。Lyapunov指数是对特征值和特征指数的一种推广，给出了对系统任意相邻相轨线平均发散程度或平均收敛程度的一种度量。它是目前判断混沌最可靠的定量方法。

　　Lyapunov指数的定义
　　给定一个n维相空间的连续耗散动力学系统，假定系统的初始条件中一个无穷小的n维圆球，由于演变过程中的自然变形，圆球将变为椭球。如果在t=0时刻，以n维原点矢量x0为中心，以w(x0,0)为半径作n维球面，由于各方向收缩或扩张程度不同，随着时间的演化，在t 时刻此球面将变形为n维椭球面。此椭球面的第i个坐标轴方向的半轴长为wt(x0,t)，则Lyapunov指数的第i个分量为：

　　一个n维系统具有n个Lyapunov指数，其中最小的Lyapunov指数，决定轨道收缩的快慢;最大的Lyapunov指数，则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快慢;而所有的指数之和可以认为是表征轨线总的平均发散快慢。

　　若Lyapunov指数λ<0，则意味着相邻点最终要靠拢合并成为一点，这对应于稳定的不动点和周期运动;若λ>0，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素(如整体有界、耗散、存在捕捉区域等)，则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。故λ>0可作为系统混沌行为的一个判据。

　　在实际计算中，要计算所有的Lyapunov指数计算量较大，尤其当系统维数较大时更为突出，所以注意力往往集中在计算系统的最大Lyapunov指数上。如图1是Lorenz系统随参数b变化的最大Lyapunov指数图。

　　图1 Lorenz 系统随参数b变化的最大Lyapunov指数图

　　在最大Lyapunov指数曲线图上可以区分概周期运动和混沌运动。概周期运动对应的最大Lyapunov指数为零而混沌运动对应的最大Lyapunov指数大于零。但最大Lyapunov指数曲线图不能区分周期k运动。

　　另外，具有两个以上正的Lyapunov指数的系统称为超混沌系统。

　　参考文献：
　　[1] 胡海岩. 应用非线性动力学[M]. 北京: 航空工业出版社, 2000.

　　[2] 吴敬东. 转子系统碰摩的若干非线性动力学问题研究[D]. 沈阳: 东北大学, 2006.

　　[3] 毕伟光. 混沌工程应用的若干问题研究[D]. 天津: 天津大学, 2007.

　　来源：漫步力学公众号(ID：Walking-mechanics)，作者：张天程 天津大学