关于FFT的使用问题（理解频率分辨率、补零问题）

weixin

　　1、Matlab中FFT的调用方法
　　X=FFT(x);
　　X=FFT(x，N);
　　x=IFFT(X);
　　x=IFFT(X,N)

　　用MATLAB进行谱分析时注意：
　　(1)函数FFT返回值的数据结构具有对称性

　　调用方法：
　　N=8;
　　n=0:N-1;
　　xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];
　　Xk=fft(xn)

　　运行结果：
　　Xk =
　　 39.0000
　　-10.7782 + 6.2929i
　　                0 - 5.0000i
　　    4.7782 - 7.7071i
　　    5.0000
　　    4.7782 + 7.7071i
　　                0 + 5.0000i
　　-10.7782 - 6.2929i

　　Xk与xn的维数相同，共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量，即频率值为0。

　　(2)做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。

　　2、FFT应用举例
　　例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。

　　代码如下：
　　clf;
　　fs=100;N=128;
　　%采样频率和数据点数
　　n=0:N-1;t=n/fs;
　　%时间序列
　　x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
　　%信号
　　y=fft(x,N);
　　%对信号进行快速Fourier变换
　　mag=abs(y);
　　%求得Fourier变换后的振幅
　　f=n*fs/N;
　　%频率序列
　　subplot(2,2,1),plot(f,mag);
　　%绘出随频率变化的振幅
　　xlabel('频率/Hz');
　　ylabel('振幅');title('N=128');
　　grid on;
　　subplot(2,2,2);
　　plot(f(1:N/2),mag(1:N/2));
　　%绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
　　xlabel('频率/Hz');
　　ylabel('振幅');title('N=128');
　　grid on;
　　%对信号采样数据为1024点的处理
　　fs=100;
　　N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;
　　x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
　　%信号
　　y=fft(x,N);
　　%对信号进行快速Fourier变换
　　mag=abs(y);
　　%求取Fourier变换的振幅
　　f=n*fs/N;
　　subplot(2,2,3),plot(f,mag);
　　%绘出随频率变化的振幅
　　xlabel('频率/Hz');
　　ylabel('振幅');title('N=1024');
　　grid on;
　　subplot(2,2,4)
　　plot(f(1:N/2),mag(1:N/2));
　　%绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
　　xlabel('频率/Hz');
　　ylabel('振幅');title('N=1024');
　　grid on;

　　运行结果：

　　fs=100Hz，Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内的福频特性。

　　若没有给出采样频率和采样间隔，则分析通常对归一化频率0~1进行。另外，振幅的大小与所用采样点数有关，采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值，但在同一幅图中，40Hz与15Hz振动幅值之比均为4：1，与真实振幅0.5：2是一致的。为了与真实振幅对应，需要将变换后结果乘以2除以N。


　　例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz，绘制：
　　(1) 数据个数N=32，FFT所用的采样点数NFFT=32;
　　(2) N=32，NFFT=128;
　　(3) N=136，NFFT=128;
　　(4) N=136，NFFT=512。

　　代码如下：
　　clf;fs=100;
　　%采样频率
　　Ndata=32;
　　%数据长度
　　N=32;
　　%FFT的数据长度
　　n=0:Ndata-1;t=n/fs;
　　%数据对应的时间序列
　　x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
　　%时间域信号
　　y=fft(x,N);
　　%信号的Fourier变换
　　mag=abs(y);
　　%求取振幅
　　f=(0:N-1)*fs/N;
　　%真实频率
　　subplot(2,2,1);
　　plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
　　%绘出Nyquist频率之前的振幅
　　xlabel('频率/Hz');
　　ylabel('振幅');
　　title('Ndata=32 Nfft=32');
　　grid on;
　　Ndata=32;
　　%数据个数
　　N=128;
　　%FFT采用的数据长度
　　n=0:Ndata-1;t=n/fs;
　　%时间序列
　　x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
　　y=fft(x,N);
　　mag=abs(y);
　　f=(0:N-1)*fs/N;
　　%真实频率
　　subplot(2,2,2);
　　plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
　　%绘出Nyquist频率之前的振幅
　　xlabel('频率/Hz');
　　ylabel('振幅');
　　title('Ndata=32 Nfft=128');
　　grid on;
　　Ndata=136;
　　%数据个数
　　N=128;
　　%FFT采用的数据个数
　　n=0:Ndata-1;t=n/fs;
　　%时间序列
　　x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
　　y=fft(x,N);
　　mag=abs(y);
　　f=(0:N-1)*fs/N;
　　%真实频率
　　subplot(2,2,3);
　　plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
　　%绘出Nyquist频率之前的振幅
　　xlabel('频率/Hz');
　　ylabel('振幅');
　　title('Ndata=136 Nfft=128');
　　grid on;
　　Ndata=136;
　　%数据个数
　　N=512;
　　%FFT所用的数据个数
　　n=0:Ndata-1;t=n/fs;
　　%时间序列
　　x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
　　y=fft(x,N);
　　mag=abs(y);
　　f=(0:N-1)*fs/N;
　　%真实频率
　　subplot(2,2,4);
　　plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
　　%绘出Nyquist频率之前的振幅
　　xlabel('频率/Hz');
　　ylabel('振幅');
　　title('Ndata=136 Nfft=512');
　　grid on;

　　运行结果：

　　结论：
　　(1) 当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。
　　(2) 由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。
　　(3) FFT程序将数据截断，这时分辨率较高。
　　(4) 也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。

　　对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。

　　例3：x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)
　　代码参考上述两个例子，运行结果如下：

　　结论：
　　(1) 数据点过少，几乎无法看出有关信号频谱的详细信息;
　　(2) 中间的图是将x(n)补90个零，幅度频谱的数据相当密，称为高密度频谱图。但从图中很难看出信号的频谱成分。
　　(3) 信号的有效数据很长，可以清楚地看出信号的频率成分，一个是0.24Hz，一个是0.26Hz，称为高分辨率频谱。

　　可见，采样数据过少，运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。添加零后可增加频谱中的数据个数，谱的密度增高了，但仍不能分辨其中的频率成分，即谱的分辨率没有提高。只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。

　　本文摘录自万永革主编的《数字信号处理的MATLAB实现》

mxlzhenzhu

Resolution=fs/N， so larger N means better frequency resolution.