采样定理详解：3个主要条件只需满足其中任意2个

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　　采样定理
　　采样定理解决的问题是确定合理的采样间隔△t以及合理的采样长度T，保障采样所得的数字信号能真实地代表原来的连续信号x(t)。

　　衡量采样速度高低的指标称为采样频率fs。一般来说，采样频率fs越高，采样点越密，所获得的数字信号越逼近原信号。为了兼顾计算机存储量和计算工作量，一般保证信号不丢失或歪曲原信号信息就可以满足实际需要了。这个基本要求就是所谓的采样定理，是由Shannon提出的，也称为Shannon采样定理。

　　Shannon采样定理规定了带限信号不丢失信息的最低采样频率为

　　式中fm为原信号中最高频率成分的频率。

　　采集的数据量大小N为

　　因此，当采样长度一定时，采样频率越高，采集的数据量就越大。

　　使用采样频率时有两个问题需要注意。

　　  · 正确估计原信号中最高频率成分的频率，对于采用电涡流传感器测振的系统来说，一般确定为最高分析频率为12.5X，采样模式为同步整周期采集，若选择频谱分辨率为400线，需采集1024点数据，若每周期采集32点，采样长度为32周期。

　　  · 同样的数据量可以通过改变每周期采样点数提高基频分辨率，这对于识别次同步振动信号是必要的，但降低了最高分析频率，如何确定视具体情况而定。

　　采样定理解析
　　采样定理实际上涉及了3个主要条件，当确定其中2个条件后，第3个条件自动形成。这3个条件是进行正确数据采集的基础，必须理解深刻。

　　条件1：采样频率控制最高分析频率
　　采样频率(采样速率)越高，获得的信号频率响应越高，换言之，当需要高频信号时，就需要提高采样频率，采样频率应符合采样定理基本要求。

　　这个条件看起来似乎很简单，但对于一个未知信号，其中所含最高频率信号的频率究竟有多高，实际上我们是无法知道的。解决这个问题需要2个步骤，一是指定最高测量频率，二是采用低通滤波器把高于设定最高测量频率的成分全部去掉(这个低通滤波器就是抗混滤波器)。现实的抗混滤波器与理论上的滤波器存在差异，因此信号中仍会存在一定混叠成分，一般在计算频谱后将高频成分去掉，一般频谱线数取时域数据点的1/2.56，或取频域幅值数据点的1/1.28，即128线频谱取100线，256线频谱取200线，512线频谱取400线等等。

　　采样过程示意图

　　抗混滤波器的使用主要是针对频谱分析的，对于涉及相位计算的用途反而会引入相位误差。几乎所有的滤波器的相位特性远比幅值特性差。

　　为说明该条件，我们举例进行说明。
　　① 要想在频谱中看到500Hz的成分，其采样频率最少为1000Hz。
　　② 若采样频率为32点/转，频谱中最高线理论上可达到16X。

　　条件2：总采样时间控制分辨率
　　频谱的分辨率(谱线间隔)受控于总采样时间，即

　　其中△f为频谱分辨率，T为总采样时间。

　　① 如果采样总时间为0.5秒，则频谱分辨率为2Hz;
　　② 若区分6cpm(0.1Hz)的频谱成分，则总采样时间至少为10秒;
　　③ 对于总采样时间为8转的时间信号，频谱分辨率为1/8X。

　　条件3：采样点数控制频谱线数
　　解释这个条件，需要对FFT计算频谱的过程有一个了解。如果对于一个2048点的时间波形数据，我们可以获得2048点频域数据——1024线频谱(每条谱线有两个值，直接值和正交值，或者说幅值和相位两个值)。

　　对旋转机械来说，频谱仅仅画出了FFT复数输出的幅值部分，对于相位部分一般不画，因此频谱中的线数最多为时域点数的一半，考虑到混叠的影响，频谱线数一般会低于时域数据点数。

　　总结
　　采样定理是实现正确采样的基准，上述3个条件中，可以根据需要设置其中2个条件，第3个条件就会自动固定。

　　① 如果采样总时间为0.5秒，想获得3200线频谱，则有

　　条件2：

　　条件3：3200线频谱实际需要4096点频谱数据(考虑到混叠问题)，8192点时域数据

　　② 若在频谱上能区分0.2Hz间隔的频率成分，频谱确定为800线，则有

　　条件2：

　　条件3：800线频谱实际需要1024点频域数据，2048点时域数据

　　③ 若在频谱上能区分0.1Hz间隔的频率成分，且能在频谱上最大看到180Hz，则有

　　条件1：

　　条件2：

　　因此，按不低于360点/秒的采样速率采集10秒钟，可采集时域数据最少3600点。

　　为方便FFT计算，数据点数应为2的整数次幂，与3600最接近的数值是4096，由此可获得2048点频域数据，即可获得1600线频谱。1600线、频率间隔为0.1Hz的频谱最高分析频率为160Hz，显然不能满足需要。

　　4096下一个2的整数次幂的数值是8192，由此可获得3200线的频谱，其最高分析频率达到了320Hz，可以满足要求，可以通过提高采样速率来实现这一要求。

　　④ 在同步整周期采样时，若采集32点/转，共采集8转，则可获得256点时域数据和100线频谱，有
　　    T=8转
　　    △f=1/T=1/8转=1/8X
　　    fMax=32点/转÷2=16X
　　    f100=100线×0.125转/线=12.5X

　　用通用的方式表达为：设{xn｝(n=0，1,2,…N-1)为一采样序列若每周期等角度采集m点，共采集L周，则有mL=N

　　设该旋转机械的转动频率为f，则采样间隔为：

　　变换后的频率分辨率：

　　显然，工频分量正好处于第L条线上。相应地，kf=k△fL，即第k阶分量也处于整数 △f上，这样就保证了特征频率成分在频谱上的准确定位。采用同步整周期采样可获得的最高分析频率为：

　　理解了采样定理的实质，我们就会对某些仪器/系统中列出的技术指标有了正确的认识，频谱分辨率并不是衡量采样质量的唯一指标，即400线频谱与400线的频谱之间有可能存在差异;在分析齿轮故障时就不会出现没有啮合频率成分这样的尴尬;在分析开/停车过程时出现分辨率过低问题……

　　本文摘录自百度文库《振动信号的采集与预处理》一文。

impulse

讲得比较详细了

Danny520

感谢分享，讲的很详细了。