有限元单元形状和大小对于计算精度的影响

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　　笔者发现，在分析复杂问题时，我们所可能出现的错误，竟然是一些很根本的错误，这些根本错误是由于对有限元的基本理论理解不清晰而造成的。鉴于这个原因，笔者决定对一些基本问题(例如单元形状问题，单元大小问题等)展开调查。

　　单元形状
　　我们知道，单元形状对于有限元分析的结果精度有着重要影响，而对单元形状的衡量又有着诸多指标，为便于探讨，这里首先只讨论第一个最基本的指标：长宽比(四边形单元的最长尺度与最短尺度之比)，而且仅考虑平面单元的长宽比对于计算精度的影响。

　　为此，我们给出一个成熟的算例。该算例是一根悬臂梁，在其端面施加竖直向下的抛物线分布载荷，我们现在考察用不同尺度的单元划分该梁时，对于A点位移的影响。

　　这五种不同的划分方式都使用矩形单元，只不过各单元的长宽比不同。

　　例如：

　　第一种 (1) AR=1.1，就是长宽比接近1;

　　第二种 (2) AR=1.5，就是长宽比是1.5.其它类推。

　　第五种 (5) AR=24，此时单元的长度是宽度的24倍。

　　现在我们看看按照这五种单元划分方式对于A点位移的影响，顺便我们也算出了B点的位移，结果见下表。

　　各种长宽比结果的比较

　　我们现在仔细查看一下上表，并分析其含义：

　　我们先考虑第一行，它是第一种单元划分情况，此时每个单元的长宽比是1.1，由此我们计算出A点、B点的垂直位移，可以看到，A点的竖直位移是-1.093英寸，而B点的竖直位移是-0.346英寸。而这两点我们都是可以用弹性力学的方式得到精确解的，其精确解分别是-1.152以及-0.360.这样，我们可以得到此时A点位移误差的百分比是：

　　对于其它情况，也采用类似的方式得到A点位移误差的百分比。

　　从上表可以看出来，随着长宽比的增加，位移误差越来越大，竟然大到56%。因此，如果我们是用长宽比为24的单元进行划分的话，那么我们的结果可以说是完全错误的。

　　下面按照上表绘制出一张图，该图从形象的角度表达了上表的含义。

　　由此可见，长宽比越接近于1，那么结算结果越精确;越远离1，则误差越大。

　　因此，我们在进行有限元分析时，应该尽量保证划分的单元长宽比接近1，这意味着，如果我们使用了四边形单元，则最好是正方形单元;如果使用了三角形单元，则最好是等边三角形。

　　当然，对于一个复杂的零件而言，我们很难保证每个单元都满足这些要求，但是，我们一定要确保，在我们所关注的地方，例如应力最大的地方，单元形状要接近这一点，否则，我们得到的解就是不可相信的。

　　但是上述结果也告诉我们，即便是最好形状的单元(情况1，长宽比为1.1)，结果的计算精度也不容乐观，其误差达到5.2%，那么，我们可以得到更高精度的解答吗?

　　单元大小
　　理论上可以证明，如果插值函数使用了“协调和完整的位移函数”，则当网格尺寸逐渐减小而单元数量增加时，解就会单调收敛。

　　而且，当单元数目增加时，得到的刚度会降低，并收敛于真实刚度。这就意味着，当单元增加时，得到的位移增加，而收敛于精确位移解。其图形如下：

　　这里所说的“协调和完整位移函数”，是指：

　　  · 近似函数式一般是多项式;

　　  · 近似函数在单元内要保持连续;


　　  · 近似函数应提供单元间的连续性，包括离散单元每一个节点所有自由度都应该是连续的，二维单元和三维单元沿着公共边界线和公共面必须是连续的。既能够保证单元内的连续，又能够保证单元间的连续的形函数称为协调函数。


　　  · 近似函数应考虑刚体位移和单元内的常应变状态。即有常数项保证刚体运动(无应变的运动)，而有一次项保证有常应变状态发生。这是形函数的完整性问题。

　　例如：对于一维单元而言，若取形函数

　　则同时满足上面四个条件，称为协调且完整的位移函数。

　　一般来说，我们所用的单元使用的位移函数都满足上述四个条件，所以从理论上来说，只要网格加密，就可以收敛于真实解。

　　为了验证上述理论的真实性，我们选用了一个材料力学中的例子来做仿真。该例子如下：

　　T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示。铸铁的许用拉应力为[σt]=30MPa，许用压应力为[σc]=160MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度。铸铁的弹性模量为100GPa，泊松比为0.25。

　　使用材料力学的理论进行求解，简要过程如下：

　　解：

　　最大正弯矩在截面C上

　　最大负弯矩在截面B上

　　B截面

　　C截面

　　使用ANSYS进行分析，使用BEAM188单元，首先创建如图所示的几何模型

　　然后分别对各段直线加密网格划分，得到的结果如下：

　　上表中，第一列是划分的单元数;第二列是最大的压应力;第三列是最大的拉应力。可以看到，随着单元数目的增加，最大拉伸，压缩应力的绝对值都在增加。

　　从材料力学得到的精确解，最大的压应力是-46.2MPa，最大的拉应力是28.8MPa。这样，当单元数增加到64个时，压应力的误差是 (46.2-45.7)/46.2 =1.1%;拉应力的精度是 (28.8-28.6)/28.8=0.7%。此时精度已经相当高了。

　　可以明显的看出，随着单元数目的增加，应力解的确是在逐渐逼近真实解。从这个方面来说，加密网格的确是提高计算精度的有效方法。

　　这也意味着，我们在有限元仿真中，如果要得到精确的结果，必须不断细分网格，直到结果收敛。否则，我们的得到结果就是不可信的。

　　来源：新浪宋博士的博客
　　作者：宋少云教授，武汉轻工大学