Tresca、双剪应力和Mises等屈服准则的特点与不足

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　　结构材料在外荷载作用下，其变形特点与外荷载的大小有直接关系。在破坏之前，材料基本经历了两个阶段，即弹性阶段和塑性阶段。当外荷载足够小时，材料表现为弹性。此时材料的应力-应变呈一一对应的关系。当荷载继续增加，应力大小超过弹性极限，应力应变关系则不再是理想弹性状态，而材料的某一点或某些点的应力状态开始进入塑性状态。

　　物体产生塑性变形的现象人们很早就已经发现，然而形成塑性理论并对其进行研究，则最早开始于1773年C.A.Coulomb提出土壤的屈服条件。1864年，法国工程师H.Tresca便最早把塑性力学的理论运用到金属材料上，并公布了他做的关于冲压和挤压方面的一些实验报告。根据实验结果，他提出了最大剪应力屈服条件(即Tresca屈服条件)，此屈服条件认为金属材料在最大剪应力达到某一临界值时就会发生塑性屈服。

　　在此后的三十多年中，塑性力学并没有得到太多的发展，基本上处于停滞状态。直到二十世纪初期，Guest做了关于薄壁管的联合拉伸和内压实验，其实验结果证实了Tresca所提出的最大剪应力屈服条件后，塑性力学又重新开始迅速发展。此后二十年内很多人还进行了大量类似的实验，并提出许多种屈服条件，其中最有影响的是M.Huber和R.Von Mises从数学简化上考虑所提出的屈服条件(即最大变形能屈服条件)。

　　屈服面和后继屈服面
　　一般地，材料在外载荷作用下的响应与荷载的大小有直接的关系。当外载足够小时，材料表现为线弹性，当外载继续增加，应力大小超过弹性极限，应力应变关系则不再是理想弹性状态，而材料的某一点或某些点的应力状态开始进入塑性状态。

　　判断材料开始进入塑性状态的条件或准则称为屈服条件或屈服准则。根据不同的可能应力路径所进行的试验，可以定出从弹性状态进入塑性状态的各个屈服应力，在应力空间中将这些屈服应力点连接起来就形成了一个区分弹性和塑性的分界面，即称为屈服面。在继续加载条件下材料从一种塑性状态到达另一种塑性状态，将形成系列的后继屈服面。

　　材料在简单加载作用下，屈服条件定义为材料的弹性极限，可以由简单试验直接确定。而多数工程中的材料处于复杂载荷作用下，屈服面与后继屈服面的形状一般不能通过试验求得，不同的本构模型有各自不同形状的屈服面，且屈服准则或屈服函数的具体形式取决于材料的力学特性。

　　因此关于材料在复杂应力状态下的屈服面与后继屈服面(或屈服准则)的确定具有理论和实践意义，一方面它表征了材料从弹性状态过渡到塑性状态的开始，确定开始塑性变形时应力的大小和状态，另一方面，它确定了材料复杂应力状态下的后继屈服极限范围，它是塑性理论分析的重要基础，并应用于各种实际工程结构的设计与施工。

　　三种本构模型的特点
　　1. Tresca屈服条件
　　1864年，法国人Tresca做了一系列的金属挤压实验来研究屈服条件。根据实验，他提出以下假设：当最大剪应力达到某一极限值时，材料发生屈服。这个条件就称为最大剪应力条件，又称为Tresca屈服条件。它可以表示为：

　　式中，k是和材料性质有关的一个常数。在主应力大小已知时，若规定σ1≥σ2≥σ3，则上式可以写成：

　　在一般情况下，往往无法事先确定固体内各个点的三个主应力的大小，则此条件应写成：

　　Tresca屈服条件中的材料常数k可通过实验确定。若做简单拉伸实验，则在材料屈服时有：

　　所以：

　　若做纯剪实验，则在材料屈服时有：

　　所以：

　　在三维主应力空间里，Tresca屈服条件可表达为如下的函数式：

　　此函数所表示的曲面在π平面上的投影是一个正六边形。

　　总的来讲，在主应力大小已知的情况下，Tresca屈服条件应用起来比较方便，但在主应力大小未知的情况下，Tresca屈服条件则不便使用。此外，Tresca屈服条件忽略的中间主应力的影响，而且屈服曲线上有角点，给数学处理上带来了困难，这是它的不足之处。

　　2. Mises屈服条件
　　上文指出，Tresca屈服条件在π平面上是一个正六边形，它的六个顶点是由实验得到的，但连接这六个点的直线却是假设的，而且Tresca正六边形的角点也给问题的数学处理带来了不变。因此在1913年，Mises提出采用一个圆来连接Tresca正六边形的六个顶点，因为它可以避免由于屈服曲线不光滑而造成的数学上的困难。Mises提出的屈服条件为：

　　式中，C是和材料性质有关的一个常数，J2可由下式表示：

　　Mises屈服条件中的材料常数C可以通过实验确定。若做简单拉伸实验，则在材料屈服时有：

　　所以：

　　若做纯剪实验，则在材料屈服时有：

　　所以：

　　在π平面上，Mises屈服条件表示一个圆，外接于Tresca正六边形。对于二维平面应力状态，则有：

　　Mises屈服条件考虑了中间主应力对材料屈服的影响，也更接近于试验结果。同时克服了Tresca屈服条件中角点带来的麻烦。但是该屈服条件的非线性数学表达式，使得计算会比Tresca屈服条件复杂。

　　3. Mohr-Coulomb屈服条件
　　Tresca屈服条件和Mises屈服条件主要是对金属材料成立的两个屈服条件，但是这两个屈服条件如果简单地应用于岩土材料，会引起不可忽视的偏差。

　　针对此，Mohr提出这样一个假设：当材料某个平面上的剪应力τn达到某个极限值时，材料发生屈服。这也是一种剪应力屈服条件，但是与Tresca屈服条件不同，Mohr假设的这个极限值不是一个常数值，而是与该平面上的正应力σn有关，它可以表示为：

　　上式就称为Mohr-Coulomb屈服条件。

　　设主应力大小次序为σ1≥σ2≥σ3，则上式可以写成用主应力表示的形式：

　　三种本构模型的对比
　　以上三种本构模型各有各的优缺点，它们在一定的条件下适合使用。
　　总的来讲，在主应力大小已知的情况下，Tresca屈服条件应用起来比较方便，但是它有以下几点缺点：
　　  · 在主应力大小未知的情况下，Tresca屈服条件不便使用;
　　  · 它忽略了中间主应力的影响;
　　  · 屈服曲线上有角点，给数学处理上带来了困难。

　　Mises屈服条件克服了以上Tresca屈服条件的缺点，它的形式更简单。在π平面上，如果我们规定在简单拉伸时，两种屈服条件重合，则Tresca六边形将内接与Mises圆。两种屈服条件都通过正六边形的六个顶点，表明在单向应力状态下两者是一致的，但在纯剪应力状态下，两者有最大差异。在纯剪应力状态下按 Mises屈服条件确定的剪切屈服应力是由Tresca屈服条件计算的结果的1.155倍。

　　总体来说，Tresca屈服条件与Mises屈服条件主要是对金属材料成立的两个屈服条件，它们已经被金属材料的实验结果所证实。但是这两个屈服条件却不适合用在岩石、土和混凝土等一类的材料。因为实验结果表明，这一类材料的性质与金属材料的塑性性质有明显的不同，主要反映在以下两个方面。
　　  · 一般认为，金属材料的体积变化是弹性的，无塑性体积变形。这对多数金属在压力不大的情况下是大致成立的。然而，对岩石、土和混凝土材料，实验表明这类材料往往有塑性体积变形。
　　  · 金属材料的屈服于净水压力无关，而这一类材料的屈服受到净水压力的影响很大。


　　因此，Tresca屈服条件和Mises屈服条件用在岩石、土和混凝土会引起不可忽视的偏差，而Mohr-Coulomb屈服条件能较好的适用于这类材料。

　　由Mohr-Coulomb屈服条件的表达式知，如果不考虑材料内摩擦角的影响，即令：

　　则有：

　　这就是Tresca屈服条件。由此可见，Tresca屈服条件是Mohr-Coulomb屈服条件的推广形式。

　　本文根据百度文库《Tresca、双剪应力和Mises等屈服准则的特点》一文整理而成，作者不详。