若干现代滤波器介绍：没有带通、低通、高通之分

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　　数字滤波技术可以分为两类：即经典滤波和现代滤波：


　　经典滤波技术的基础是傅里叶变换，它建立在信号和噪声频率分离的基础上，通过将噪声所在频率区域幅值衰减来达到提高信噪比，于是针对不同的频率段就产生了低通，高通，带通等滤波器之分。


　　现代滤波器则不是建立在频率领域，而是通过随机过程的数学手段，通过对噪声和信号的统计特性(如自相关函数，互相关函数，自功率谱，互功率谱等)做一定的假定，然后通过合适的数学方式，来提供信噪比。譬如卡尔曼滤波器中，总会假定状态噪声和测量噪声是不相关的。在维纳滤波器中还必须假定信号是平稳的，等等。所以现代滤波技术没有带通、低通、高通之分。

　　维纳滤波
　　维纳滤波是一种平稳随机过程的最佳滤波理论，换句话说就是在滤波过程中系统的状态参数(或信号的波形参数)是稳定不变的。它将所有时刻的采样数据用来计算互相关矩阵，涉及到解维纳-霍夫方程。

　　可以说维纳滤波仅在理论上有意义，在实际应用中的局限性表现在：不适用于非平稳的随机过程的滤波;要用到所有时刻的采样数据，需要的数据存储容量大;解维纳-霍夫方程是要用到矩阵的求逆运算，计算量大(因为互相关矩阵的阶数很大)，而且实际数据下的维纳-霍夫方程可能无解。

　　维纳滤波是根据全部过去的观察数据x(n)，x(n-1)…来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数H(z)或单位样本响应h(n)的形式给出的。从信号模型的建立来看，维纳滤波的信号模型是从信号与噪声的相关函数得到。

　　卡尔曼滤波
　　卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，也适用于非平稳随机过程。它将系统的状态迁移用状态方程来表述，并用固定维数的矩阵运算递推式代替了维纳滤波的解维数巨大的线性方程组，克服了维纳滤波的一系列局限性，获得了成功应用，被称为上个世纪四十年代统计信号处理的最大成果。

　　在应用中，卡尔曼滤波的关键是建立准确的系统模型(包括状态方程和观测方程)。卡尔曼滤波考虑了系统噪声和测量噪声，最小二乘一般没有考虑系统噪声，如果卡尔曼滤波不考虑系统噪声，就相当于递归加权最小二乘，如果二者皆不考虑就是最简单的最小二乘。

　　卡尔曼滤波则不需要全部过去的观察数据，它只是根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。它是用状态方程和递推方法进行估计的，而它的解是以估计值(常常是状态变量的估计值)的形式给出的。从信号模型的建立来看，卡尔曼滤波的信号模型则是从状态方程和量测方程得到。

　　匹配滤波
　　匹配滤波跟前面的两个滤波理论不一样，它不属于波形估计(或称系统的状态估计)，而是属于信号的统计检测这个范畴!匹配滤波不同于一般的滤波方法，其目的不是为了最好地恢复信号波形，而是使得在某一判决时刻T时，使得输出的信噪比最大，从而有效的检测到信号(或发现信号)。

　　已知信号是指数衰减信号s(t)，它淹没在到达的信号r(t)所含的噪声q(t)中，经采样后表示为r(n)=s(n)+q(n)使用匹配滤波器h(t)=s(T-t)作卷积，就得到输出的最佳估计。由卷积运算的过程看，在信号幅度最大的地方，卷积加权最多，而在噪声占主要的地方，卷积的结果削弱了噪声的作用。可以看出来，匹配滤波器可以看作是自相关运算，也可以看作是一个自相关运算。

　　从输出的角度来看，匹配滤波与信号自相关的不同点在于：自相关检测是随时与被检测的信号自身进行相关，不需要任何先验知识;而匹配滤波是将到达的信号与预先设定的冲激响应相卷积，可以预先设置各种冲激响应，分别与到达的信号进行卷积，如果二者“匹配”了，就得到最大输出。

　　可以证明，对于白噪声匹配滤波器，使输出信噪比达到最大时滤波器的传递函数为式中，S*(Ω)是信号s(t)的傅立叶变换S(Ω)的复共轭，c是任一常数，反映线性匹配滤波器的放大量，通常取c=1。

　　为实现h(t)和x(t)的高速卷积，可由频率的方法实现.为了提高运算速度，通常不必计算FFT2，而是预先算好的H(k)存放在只读存储器中，需时只需从存储器中取出来与X(k)相乘即可。

　　小波滤波
　　维纳滤波和卡尔曼滤波属于一类时域滤波器，小波滤波则与常见的带通滤波器(包括低通滤波、带通滤波、带限滤波、高通滤波)属于频域滤波器，其特点是将信号与噪声在频率进行分离，抑制有用信号频带以外的噪声，使有用信号通过，但不能抑制与有用信号占据相同频带的噪声(这一点与维纳滤波和卡尔曼滤波是从根本上不同的)。

　　与基于傅立叶变换的常规滤波方法相比，小波变换适用于时变信号的频谱分析，能够显示信号频率随时间变化的特性(傅立叶变换认为在信号的处理时间内频率特性是不变的)。但是，在实际应用中，由于小波变换计算量很大，实时处理受到限制。而且由于实际时变信号的频率特性非常复杂，还没有形成统一的小波滤波。

　　本文转载自泰斯特电子(testdianzi2014)