弹性力学发展简史

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　　启 蒙 时 代

　　1600-1700年

　　弹性力学植根于早期的数学和物理研究。自牛顿时代以来才逐渐从其中得以分离。最初的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。Leonard Da Vinci 曾在他的笔记中记载了测试绳索拉伸强度的一种实验，据说这或许对悬挂他的画作至关重要。由于绳索中的缺陷分布，他认识到强度对长度可能的依赖关系。

　　Leonard Da Vinci 及其机械设计

　　经典力学有时候被称为“伽利略-牛顿”力学。原因很清楚，伽利略提出了惯性原理，牛顿将其扩展为牛顿三定律。伽利略的经典著作《两种新科学的对话》是力学发展中的一个里程碑。

　　伽利略

　　除了家喻户晓的惯性原理外，其中详细讨论了固体的变形和强度。他研究杆单向拉伸断裂时的载荷，得出了断裂载荷与杆长无关的结论，这与达芬奇基于缺陷沿长度统计分布的认识不同。在一个科学即是天文学的时代，伽利略在材料强度方面的研究和探索是非同寻常的。关于伽利略试验方法的历史记载可参见S.P.Timoshenko(1878-1972)的著作《材料力学史》。

　　伽利略的拉伸试验和弯曲试验示意图

　　伽利略梁横截面为矩形，其长度L，一端固支在墙中，另一端悬挂一桶水或其他形式的重物。伽利略对这种悬臂梁的结构进行了分析。这是历史上首次把梁作为变形体来进行研究。分析结果正确地给出了梁的强度和几何尺寸的依赖关系，例如长度和截面抗弯刚度。然而伽利略并未给出正确的轴向应力沿着高度分布的关系，他认为轴向应力在下底面处为零，而非现在我们认识到的中性层处。

　　弹性关系的感念首先是英国科学家Robert.Hooker提出。胡克定律发现于1660年，发表时已经是1678年。在他的论文《论弹簧》中，原始的弹性关系写为拉丁文的字谜形式“ceiiiosssttuu”,重新排列后为“ut tensio sic vis”,也就是现在的弹性胡克定律。中文意思是“拉力与伸长成正比”。胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应力和应变的形式。

　　Robert.Hooker的实验

　　大师耕耘

　　1700-1880年

　　早期弹性力学的发展记录了大师们的足迹。伯努利Bernoulli兄弟引入了应力和应变的概念。1705年，Jacobi Bernoulli (瑞士数学家和力学家)在他生平的最后一篇论文中指出，要正确描述材料纤维在拉伸下的变形，就必须给出单位面积上的作用力，即应力(Stress)，单位长度的伸长，即应变(Strain)。

　　1727年，Leonhard Euler (瑞士数学家与力学家，Jacobi Bernoulli的弟弟，John Bernoulli的学生)给出了应力与应变之间的关系，即：

　　1807年，Thomas Young发展了一个类似的概念，因此现在常常称E杨氏模量。

       1774年，Leonhard Euler分析了压杆失稳的问题。可以证明杆件的挠度遵循下面的方程：

　　其中，C'是Bernoulli梁的刚度系数，P是压杆载荷，x，y分别是沿杆长的坐标和杆的挠度。

　　Euler得到的挠度曲线

　　作为表明弹性力学历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析出发了两个重要的数学概念。其一是“变分原理”，Euler正是利用这种方法导出控制方程，其二是“分岔”的概念，它是非线性分析的中心内容。Euler得到了上述方程的解答，文献中称为“elastica”。结果表明，杆件在不同的压缩状态，欧拉杆会发生翻转，变为折叠的受拉杆。

　　Euler逝世后不久，许多天才科学家齐聚法国，他们对弹性力学不懈的研究使得这一领域在法国科学院中异常活跃，其中几位科学巨匠有Navier，Poisson，Coulomb，Cauchy，Saint Venant。

　　Navier

　　1821年，Navier发表了题为“弹性体平衡和运动方程”的论文，文中弹性体的控制方程首次写为：

　　其中，u表示位移，f 表示体力，C是弹性模量的一种量度。这个方程被称为“弹性体”的位移方程，或简单地被称为“纳维叶方程”。这个方程和我们今天所知道的形式并不完全相同，它仅对两个拉梅常数相等的特殊弹性体成立。

　　1829年，法国科学家Poisson考虑了单向拉伸时的横向收缩问题。为纪念他的贡献 ，横向收缩和纵向伸长的比值的负值被命名为泊松比。另外，泊松还发现了横波和纵波，开创了弹性动力学分析。

　　对弹性力学做出卓越贡献的另一位法国科学家是Cauchy，1822年，Cauchy在三维情况下规范了应力的概念，揭示了应力具有三阶对称张量(tensor)的性质他的其他贡献包括：提出将力矢量和应力张量联系起来的柯西原理，提出主应力 (principle stress)和主应变(principle strain)的概念，推广胡克定律，以及建立了用应力分量表示的连续体运动方程和边界条件。

　　主应力的概念

　　柯西还给出了几何方程，当位移对坐标的导数远小于1的时候，6个应力分量(3个正应力分量和3个切应力分量)可以表示为位移的导数。这与流体力学中欧拉用速度场导数表示的应变率类似。

　　Cauchy不仅是一位严谨的科学家，而且具有很强的物理直觉。他从原子论的观点讨论了物体的弹性，利用对势导出了所谓的弹性张量的柯西关系，指出弹性张量具有完全对称性。Cauchy仔细讨论了各向同性这种特殊情况，线弹性理论仅需要知道一个弹性常数。

　　一般各向异性弹性固体的弹性张量之独立分量的数目引起了激烈的讨论。1837年，英国数学家乔治格林指出，如果存在应变能函数，则联系6个应力分量和6个应变分量的36个弹性常数中只有21个是独立的。

　　1855年，苏格兰物理学家开尔文在更坚实的热力学基础上对此加以讨论，指出对于等温或绝热过程存在应变能。这也是他在热力学方面取得伟大成就的一部分。

　　圣维南

　　在十九世纪中后期，科学家们得到了大量的弹性力学基本解，并应用于工程实践或者解释自然现象。纳维尔的学生圣维南Saint Venant在其中做出了卓越的贡献。1853年，他提出半逆解法，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转问题的精确解，从而检验了材料力学中在一定简化下得到的近似解的准确程度。此外，他提出了著名的圣维南原理，为数学家和工程师创造了无数机遇和挑战。

　　值得一提的是由于十九世纪末德国科学家的突出贡献，使得德国取代法国成为世界的研究中心。电磁学的奠基人之一，普鲁士物理学家基尔霍夫Kirchhoff多才多艺， 在弹性力学领域也颇有建树。

　　1867年，他出版了著作“力学”，将弹性力学的应用领域扩展到一种新的几何构形-板，在直线法假设的前提下，他利用虚功原里和变分法导出了控制方程。在一维情况下，Kirchhoff板退化为Euler-Bernoulli梁。随着板和壳结构出现在土木和机械工程领域，这一理论得到了广泛应用。

　　电磁学的另一奠基人，赫姆霍兹在弹行力学领域同样功勋卓著，他建立了弹性自由能的概念，以他的名字命名为赫姆霍兹自由能，另外，他还利用赫姆霍兹变换得到无限大弹性体的应力波解。

　　体系形成

　　1880-1950年

　　在这一时期，弹性力学的知识如同百川汇入大海，形成了一套完整的体系。代表性著作是勒夫的“关于弹性力学数学理论的论述”(1892-1893年)。该部著作的问世同时标志着十九世纪整个数学物理的研究中心是弹性力学。除此之外，勒夫本人还在点源解和勒夫波等方面对弹性力学做出贡献。

　　弹性力学在工程力学领域的广泛应用应归功于铁木辛柯S.P. Timoshenko的巨大热情。Timoshenko出生于前俄罗斯贵族，师从空气动力学之父普朗特。他尤其热心于弹性力学的工程应用，在弹性地基梁、铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动等方面作出了巨大的贡献。

　　铁木辛柯不仅仅是一位科学家，工程师，而且他还是一位伟大的教育家。由他编写的教材几十年以来一直在美国工学院使用。他和冯·卡门一起促进了应用力学在美国的繁荣。

　　钱学森(左)和钱伟长(右)在全国交叉学科会议上

　　在这一时期，弹性力学还有两个重要的发展。其一是冯·卡门和他的学生钱学森及钱伟长解决的薄壁结构大挠度和屈曲的问题。量子力学的奠基人之一，沃纳 · 海森堡博士论文中也对屈曲问题作了研究。第二个重大的发展来自于以柯洛索夫和穆斯海里什维里为代表的前苏联学派。他们发展了弹性力学的复变函数方法。穆斯海里什维里在其专著《数学弹性力学的几个基本问题》和《奇异积分方程》、保角变换和黎曼-希尔伯特问题等数学概念方法构筑了线弹性平面和反平面问题的理论基础。

　　柯洛索夫

　　分支发展

　　1950-至今

　　二十世纪的后半期，弹性力学的各个分支得到了蓬勃发展，1950年，芬兰力学家和工程师K.T.Koiter提出弹性稳定性的概念，随后有关静力稳定性、运动稳定性和动力稳定性的缺陷敏感性的问题也被提出，并充分地加以研究。

　　一个缺陷的例子

　　断裂力学的先驱是英国航空工程师A.A.Griffith(1893-1963年)，他提出著名的脆断准则，如果裂纹扩展释放的弹性应变能等于产生新表面所做的功，则裂纹处于临界扩展状态。

　　断裂力学

　　这一领域从二十世纪中叶以来一直处于固体力学研究的中心地位，主要推动力是对第二次世界大战期间造成美国海军舰队重大损失的原因的研究和美国物理学家和工程师George R.Irwin投入的巨大热情和精力。

　　1957年Irwin提出应力强度因子的概念，用来度量裂纹尖端附近应力场的强度。在Irwin的大力推动下，从十九世纪40年代一直到二十一世纪，在裂纹扩展和结构破坏方面出现了大量的成果，包括疲劳裂纹和应力腐蚀导致裂纹。

　　1968年，美国力学家和地学家J.R.Rice奠定了非线性断裂力学的基础。断裂力学中的关键参量，能量释放率G，应力强度因子K和J-积分分别用来纪念Griffith，Irwin和Rice对这一领域的贡献。

　　另一重要的发展是有限元方法的发明，它为工程领域提供了基本的计算工具。1943年数学家Richard Courant描述有限元的理论框架，50-60年代，这一理论在几个国家独立的发展，并编制了可以用于工程计算的计算机程序。代表学者有美国航空工程师M.J.Taylor和Ray W.Clough,英国土木工程师J.H.Argyris和O.C.Zienkiewicz，以及中国数学家冯康。

　　有限元方法源于求解弹性力学问题，它的发展超出这一领域，成为计算力学的基本组成部分，目前又被进一步应用到材料微结构、生物力学和医学领域。

　　近年来弹性力学理论也有长足的发展，一个重要的领域是大变形弹性理论，这是经典弹性力学从未开发的处女地。例如橡胶之类的高分子材料的广泛应用使得建立弹性大变形理论成为必需。

　　1960年，英国应用数学家和工程师Ronald.S. Rivlin给出了拉伸、扭转、弯曲和翻转在弹性大变形下的解。他还致力于各项同性弹性的张量表示理论，提出著名的Rivlin-Ericksen定理。他的其他贡献还包括Mooney-Rivlin理论，精确描述了橡胶弹性。

　　Ronald.S. Rivlin

　　弹性力学的另一重要的用武之地是各向异性弹性，使这一领域发生深刻变革的工作是在1959-1962年期间由三位科学家完成的，他们分别是J.D.Eshelby, S.G.Lehnitskii和A.N.Stroh。值得一提的是，A.N.Stroh的一生非常凄烈，然而在他短暂的10年学者生涯却异常辉煌，在T.C.T.Ting的著作《各向异性弹性力学理论及其应用》第五章最后一节专门讲述了A.N.Stroh的一生。

　　本文内容综合自CubicL的基础力学教学科普和道客巴巴PPT《弹塑性力学绪论》，部分图片收集自网络。