数学——应该这样学

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　　美国数学家L.A.斯蒂恩在《今日数学》中写道：
　　“这三门学科——代数、分析和拓扑，代表了现代数学家的共同修养。这些领域的定理、定义和方法，形成数学教育的经典：一个人不能阅读用代数、分析和拓扑的语言写的数学书，就不能自命真有数学知识。从二十世纪初期的这三个领域里产生了五花八门、难易相信的现代数学。”

　　这三门学科其中两门――代数和分析是大一的必修课。一定要认真学好。

　　学习高等数学，一定要坚持数学概念第一，运算技巧第二的原则。
　　数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。这里的“数”和“形”应做广义的理解。这样，结构、范畴、模型等对象都可包括在里面。

　　数学是推理的科学。推理的第一步就是要定义概念。毛泽东在《实践论》中写道：“社会实践的继续，使人们在实践中引起的感觉和印象的东西反复了多次，于是在人们的脑子里生起了一个认识过程中的突变(即飞跃)，产生了概念。概念这种东西已经不是事物的现象，不是事物的各个片面，不是它们的外部联系，而是抓着了事物的本质，事物的全体，事物的内部联系了。概念同感觉，不但是数量上的差别，而且有了性质上的差别。循此继进，使用判断和推理的方法，就可产生出合乎论理的结论来。”

　　逻辑学上把概念看成是思维的细胞，是反映对象本质属性的思维形式。在思维过程中人们依靠概念构成判断并形成推理。

　　2003级数院学生孙洪宾谈到，姜伯驹老师非常强调对于基本数学定义的理解与记忆。在期末考试中，几乎每一道题目都有一小问是要求我们叙述定义或是公理。

　　数学有一个特点就是高度抽象。数学的抽象能力是很重要的能力。许宝马录先生非常强调这点，他说：“数学中的抽象能力是重要的，一些问题经过抽象之后，不仅问题简明了，而且它的实质也更清楚了。”他经常用实例教育学生，如何进行抽象，就是经常分析和比较，能把表面上看起来似乎不相干的内容经抽象后看出来实质上是一样的。

　　代数和几何这些基本原理是来源于对日常生活经验的抽象。这种抽象可以一环套一环地反复进行。这里“抽象”这个词要理解为“去除”的意思，也就是去掉那些对有关问题的来龙去脉，或对某特定目的来说是非本质的东西。因此，我们对数学概念不仅要知道它是怎样定义的，而且要知道它是怎样抽象出来的。有些重要的数学概念如实数、函数不是一开始就这样定义的，而是经过多人、多年才得到今天的概念。就是说有些数学概念不是“不刊”的，而是“可刊”的。

　　抽象的过程就是由感性认识到理性认识过程，毛泽东是这样描述这个过程的：“要完整地反映整个事物，反映事物的本质，反映事物的内部规律性，就必须经过思考作用，将丰富的感觉材料加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、禹及里的改造制作工夫，造成概念和理论的系统。”我们学习数学概念就要学习这概念是如何抽象出来的，还要能回到具体对象去。

　　我们学好数学是为了更好的运用数学，一定要“真懂”。不要认为考试得了高分就是“真懂”了。我大学同学朱健士每次考试成绩不高，但他考试后还继续看书，真正弄懂，后来被选为工程院士。

　　学习数学方法，还是华罗庚先生的由厚到薄，再由薄到厚的过程。
　　许宝马录先生将第一阶段再分为两个阶段，他说，读一本书要经过变厚再变薄的几个阶段：

　　      · 第一阶段要变厚，就是要补充书上未详细给的、甚至未给的证明;找出书上的错误给以更正;自己想到的内容，给以补充。。。。，这样念完一本书，这本书就变厚了。

　　      · 第二阶段是由厚再变薄。这就是要把书中的关系、推理的关键步骤和基本方法提炼出来，掌握了这些，全书的内容都了然如指。这第二个阶段是不容易的，没有这第二阶段，就不易进入研究的领域。


　　在第一阶段，许先生的读书方法是看清楚了一条定理的条件和结论后，应自己去设法证明，写出来与书上的进行比较，看哪些是书上的好，什么地方是自己的好，弄清原因，然后再整理，这样才能真正吸收书上的内容。这样做当然很费工夫，没有勤奋好学的毅力，是很难坚持的。


　　许先生还要求念一本书，就要故意和作者作对，尽量去挑书上的毛病，不要认为写书的人是大专家，不会有错，很难找到一本一点错也没有的书。许先生就是这样做的。张尧庭教授说，他随许老师十年，发现许先生读过的书几乎都被他找出各种大大小小的错。张教授还举出自己经历的事例，他说，刚念费勒的《概率论及其应用》时，许先生说书中的循环事件定义有问题。还指出，定义为什么不妥，应如何修改。当时张教授是快大学毕业的学生，从未想过书上的定义有问题，特别像费勒这样的大专家，他写的书，定义还会有问题，似乎是难以想象的。隔了一年，费勒的书出了修订版，张教授拿到新书后，看到循环事件的定义真是修改了，而且是和许先生说的一样，自此以后，张尧庭念书时对新的概念特别注意它的定义是否合适。

　　关于厚，韩思蒙(获哈佛大学全额奖学金，攻读统计学博士)体会很深，他说：“陈天权老师曾经谆谆教导我们说：学数学一页书要读出十页笔记，虽然作者会跳过一些内容，但是作者所明白的其中的奥妙，我们未必清楚，所以需要在笔记中全部补充完整。就这样薄薄的一本书，我们往往要写下厚厚的笔记。“

　　对于由厚到薄，张景中院士这样讲的：“学习数学，切忌死记硬背，机械推演，贵在联系贯通，举一反三。数学概念要联系生活实际，数学方法要解决实际问题。数学本身的各部分内容，更有密切的联系。“由于有密切的联系，所以可以压缩。他举了指数函数、对数函数和幂函数。

　　他说：”非0实数的0次幂为1“，当F(x) 是指数函数时表述为F(0)=1，当F(x) 是对数函数时表述为F(1)=0;

　　“1的任意次幂为1“，对于指数函数、对数函数表现为底不为1，对于幂函数F(x)表现为F(1)=1，在图上又表现为曲线经过点(1，1)。

　　这三类函数都有单调性，但归根结底无非是两点，就是“大于1的正数，正指数幂大于1;小于1的正数，正指数幂小于1“。因为大于1的正数的倒数小于1，两点又归为一点。

　　一件事有几种说法，说来说去是一回事。一个城市的电话号码增1位，人口增长10倍，说明指数增长快;人口增长10倍，电话号码才增加1位，说明对数增长慢。看清楚这一点，学数学就能举一反三，就有了味道，就记得住，就用得活。

　　100多页的数学课本，这样想来想去，就只有十几页，两三页，甚至只有几行了。但这几行又能千变万化，解决大量实际问题。“

　　学数学，必须要做习题。
　　习题有三种，一种是很容易的，主要是直接套用公式或定理，一种是不容易做的，技巧性很高的，许宝马录先生对这类题很重视，说这个题不容易做，那正说明你应该做这个题目。我记得我读书时有道题用了几天才做出。有同学很快做出来了，我不去问他，我想别人能作得出，我也能做得出。我们那时绝大多数人的作业是独立完成的。第三种习题本身就是定理，不够格放于正文，只能当习题。这些题必须做，做了后就可以当定理用。

　　许宝騄先生很认真做习题，他还保存了40年代在西南联大教书时做的习题。除了自己认真做外，还要求学生做题不仅要对，而且方法要好，他不仅对作业批改对不对，而且还指出这个题解的方法好不好，对不好的，批示给出另外更好的方法。

　　张景中有篇回忆录中提到，要多看书，适当做题。

　　学数学不仅是学知识，还要学数学的思维方法。
　　北大丘维声教授概括为：观察――抽象――探索――猜测――论证。

　　具体来说，就是观察客观现象，抓住主要特征，抽象出概念或者建立模型，猜测可能有的规律，然后进行深入分析、逻辑推理和计算，揭示事物的内在规律。

　　他给学生上第一堂课时就提出数学的思维方式，他说：“也许三年后，你们都不会记得这些推导，十年后，都不会记得这些定理，但是数学的思维方式，会影响你们一辈子。“

　　其实，不仅数学思维是如此，物理等自然科学的研究也是如此，从观察现象，再抽象，设计实验，提出假说，然后论证，只是论证方法不同而已。

　　就是文学，也需要细致观察，找到共同特征，得到形象语言。高尔基说：“文学是用语言来创造形象、典型和性格，用语言来反映现实事件、自然景象和思维过程。”据说短篇小说之王莫泊桑毕业论文就是观察100个马车夫，抽象出共同特征用一个马车夫来表达。每门学科都有自己的语言，表达方式和形式不同。

　　将各门学科的知识概括为共性的学科就是哲学。
　　哲学的原意就是爱智。对哲学的定义有多种。有一说法是：哲学可以用三句话来描述：

　　      · 哲学就是培养智慧;

　　      · 哲学就是发现真理;
　　      · 哲学就是印证价值。

　　冯友兰先生认为哲学的内容是“人类精神的反思”，北师大周桂钿教授把人类精神分为三大类：真、善、美。因此，哲学按研究内容分，可以分为求真的哲学，求善的哲学与求美的哲学。
　　      · 求真的哲学，根据科学成果，通过逻辑分析，探讨宇宙本原，西方哲学以求真的科学哲学为主流。
　　      · 求善的政治哲学，研究的主题是社会治理的问题，以历史上政治兴衰成败作为借鉴，以当代人的性情作为依据进行研究。

　　有一点是共同的，那就是学习哲学，能使人聪明。我希望你们在通选课中选点哲学课，如不选也要旁听几课。能进北大的学生都是聪明的，学了哲学更聪明，何乐而不为呢?

　　大学三年级要分专业，不论学什么专业，这三门课一定要学好。
　　学好了这三门，以后的学习就不太费力了。所有同学不可能都从事数学工作，很可能大部分转行，也需要一部分人转行(主要是非数学领域的专家数学知识普遍不精，不排除个别人的数学比学数学的还好。)数学在绝大多数领域都能发挥作用，因此本科的学习对今后学什么专业都是很重要的。

　　数院学生要学好数学，将来需要一部分人转于其他学科。三年级再做决定，文、理、公、管、医都可。学完拓扑后，再看分析和代数。

　　陈家鼎(前数院副院长)说：现在很多同学忽视高年级的专业课学习，其实，这些专业课都要讲到本学科的前沿问题，对深造很有用。

　　从学生反馈意见来看，同时学好三科不易，有的人对代数感到困难，也有人对分析觉得吃力。几何没有人认为不易学。

　　分析必须学好，因为以后微分方程、复变函数、实变函数与分析方法一脉相承。最困难是数学分析，可能是中学数学删掉很多原因吧。

　　数学植根于现实世界，但数学是一门精确的、理想化的学科，点、线、面和其他理想的数学结构在现实世界并没有精确的对应物。数学所做的是从完全抽象的、理想化的观点来观察世界，和以完全精确严密的方式进行抽象推理。

　　面对一些命题的正误判定，数学家与物理学家、化学家、生物学家不同。比如证明三角形三内角和等于180度，你测量许多三角形都是对的，但不能得出结论，必须经过证明。

　　来源：本文转载自新浪闲云谭影的博客

xiaozh99

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