随机振动基础知识汇总：随机振动的响应分析

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　　本文主要讨论机械或结构系统在随机激励作用下，激励—系统—响应三者之间的关系。

　　随机激励共分为参数激励与非参数激励，其中：
　　      · 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。
　　      · 非参数激励：即由外界施加的激励，又分为平稳的和非平稳的两类。

　　系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性模型可得到逼真的结果(在此我们只讨论线性系统问题)。

　　当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。

　　      · 对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置上同时受到激励，即有多个输入;其响应也可能有很多个，而且不同位置处的响应也不同。
　　      · 对于线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决
　　      · 对于确定性振动，激励与响应之间的关系，一般用微分方程来描述，方程的非齐次项是确定的，初始条件也是确定的，因此响应也是确定的。

　　在随机振动中，一般激励与响应都必须用概率统计的方法来描述。在激励与系统特性已知的情况下，只能求出响应的一些统计特征，如期望(均值)、相关函数、功率谱密度、均方值等。

　　单输入单输出的线性系统

　　假定常参数线性系统只受到一个输入x(t)的作用，其相应的响应(输出)为y(t)，如图所示。

　　下面主要介绍研究输入、输出和系统动态特性三者之间的关系，以及计算响应(输出)的统计特征的方法。

　　设x(t)是平稳随机过程X(t)的一个样本函数，则系统输出y(t)是另一平稳随机过程Y(t)的一个样本函数;设系统的脉冲响应函数h(t)，则频率响应函数是H(ω)。

　　一、响应的均值
　　对于输入的一个样本函数，由卷积积分公式，可得输出的一个样本函数：

　　设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出其对应的输出的样本函数。于是，可得到输出的集合平均为：

　　输入与输出均值的关系式为：

　　H(0)是直流分流量。

　　上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与输入的均值只差一个乘子H(0)。若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。此结论可以推广到多输入与多输出的情形。

　　二、响应的自相关函数
　　输出过程Y(t)的自相关函数定义为：

　　则响应的自相关函数可表示为：

　　上式为输出的自相关函数之间的关系式。

　　该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机过程，则响应的自相关函数与自然时间无关，也一定是平稳的随机过程。

　　三、响应的自功率谱密度函数
　　对输出的自相关函数作傅立叶变换，便得到响应的自功率谱密度SY(ω)为：

　　变换积分次序，并重新排列。

　　令ξ=τ-θ1+θ2，由维纳—辛钦关系式知，最后一个积分就是激励X(t)的自谱密度：

　　第二个积分就是脉冲响应函数h(θ2)的傅立叶变换，即频率响应函数H(ω)。

　　前两个积分的不同在于指数中的正负号的差别。

　　经处理后得随机输入与输出的自谱密度关系式：

　　上式是随机振动理论中一个极其重要的公式，指出了输入、输出与系统动态特性三者之间的关系。表明，若已知系统的增益因子|H(ω)|和输入的自谱密度SX(ω)，则可确定输出的自谱密度SY(ω)。

　　事实上，若已知SX(ω)、|H(ω)|和SY(ω)三者中的任意两个，就可以确定第三个。此外，响应的自谱密度是与系统的相位因子无关的。

　　四、响应的均方值
　　已知响应的自谱密度SY(ω)，则可计算出响应的均方值E[Y2]：

　　将随机输入与输出的自谱密度关系式代入上式

　　注意：当均值为零时，均方值就等于方差。

　　在输入为理想白噪声的情况下，由于输入的自谱密度对于所有的频率都是常数，则响应的均方值公式可得到简化：

　　只要计算出如下的广义积分I值，便可求得响应的均方值：

　　五、激励与响应的互相关函数

　　由互相关函数的定义，可得激励与响应之间的互相关函数：

　　常参数线性系统在受到平稳随机输入时，激励与响应之间的互相关函数正好等于脉冲响应函数与输入自相关函数的卷积

　　六、激励与响应的互谱密度
　　对互相关函数表达式作傅立叶变换，便可得到激励与响应之间的互功率谱密度。

　　与前面计算响应自谱相似的方法，将上式改写为：

　　上式第一个积分是频率响应函数H(ω)，第二个积分就是激励X(t)的自谱密度SX(ω)。

　　上式表明：输入与输出之间的互谱密度等于系统的频率响应函数与输入自谱密度函数的乘积。通过该式可完整地确定系统的频率特性H(ω)。

　　由于H(ω)是复数，它可表示为：

　　则互谱密度可以表示为：

　　由于SX(ω)是实偶函数，则互谱密度函数可表示为：

　　上式表明：互谱密度的幅值等于系统的增益因子与输入自谱的乘积。互谱密度的幅角又等于系统的相位因子。

　　七、相干函数
　　系统输入与输出的谱相干函数(又称凝聚函数)可通过下式来定义：

　　SX(ω)和SY(ω)皆为实函数，故相干函数必为实函数。

　　可以证明，对于所有频率ω，相干函数满足以下不等式：

　　当输入与输出互不相关时，有RXY(τ)，从而互谱密度SXY(ω)=0，于是由定义知相干函数也等于零。

　　对于线性系统，存在下列关系

　　在线性系统的假设下，输入输出线性相关，有

　　输入输出互不相关时，相干函数的值等于0;输入输出线性相关时，相干函数等于1。

　　相干函数的值在0与1之间，如果相干函数值大于零但小于1，为以下三种情况之一。
　　      · 联系输入X(t)和输出Y(t)的系统是非线性的
　　      · 测量中有外界噪声干扰
　　      · 输出Y(t)是输入X(t)和其它输入的综合输出。

　　只讨论一种存在噪声干扰的情况：

　　如图所示的单输入线性系统，假定只在输出测量中混有噪声，则实测得到的输出Z(t)是真实输出Y(t)与噪声干扰N(t)之和。

　　假定X(t)与N(t)皆是均值为零的平稳随机过程，且N(t)与X(t)和Y(t)都是不相关的，则有：

　　输入与实测输出之间的互相关函数：

　　故有：

　　实测输出的自相关函数

　　实测输出的自谱密度

　　输入X(t)与实测输出Z(t)的谱相干函数：

　　将互谱密度与自谱密度式代入上式，并结合下式

　　得到

　　上式表明：在有噪声干扰的情况下，输入与实测输出的谱相干函数将小于1。因此，对于线性系统，可借助相干函数值来判断干扰影响的大小。

　　此外：

　　虽输出中含有干扰，但通过实测信号的互谱密度，以及输入信号的自谱密度，可以精确的获得系统的频响特征。

　　多输入多输出的线性系统

　　考虑某一具有m个输入Xi(t) (i=1,2,…, m)和n个输出Yk(t) (k=1,2,…, n)的常参数系统，假定每个输入Xi(t)都是平稳的随机过程。

　　在系统有m个输入Xi(t)的情况下，对应于每一个输出Yk(t)，有m个脉冲响应函数：

　　对于n个输出，则共有n×m个脉冲响应函数，脉冲响应以矩阵形式可表示为：

　　矩阵中各元素均加以两个脚标：
　　      · 第一个脚标k(k=1,2,…, n)表示k处的响应(输出);
　　      · 第二个脚标i(i=1,2,…, m)表示i处的激励 (输入)。

　　频率响应函数是脉冲响应函数的傅立叶变换，因此，图示系统共有n×m个频率响应函数，频率响应矩阵H(ω)可表示为

　　已知系统的激励和动态特性，便可确定系统响应的各个统计特征。

　　一、响应的均值
　　m个输入和n个输出，可以表示为

　　对于线性系统，每一个输出Yk(t) (k=1,2,…, n)都可以由对应于每个独立输入的响应Yki(t) (i=1,2,…, m)叠加而成，如图所示。

　　假定各个输入Xi(t)都是平稳的随机过程，则有

　　对应于每个独立输入(第i个输入)的响应Yki(t) 的期望为

　　k处总响应的期望为

　　写成矩阵形式：

　　二、响应的相关矩阵
　　系统的每一个输出Yk(t)是对应于各个独立输入的响应的叠加：

　　系统的响应以矩阵形式的形式可以表示为下式

　　其中Y(t)与X(t)是给出的列阵，而h(θ1)表示脉冲响应矩阵。

　　对上式进行转置得：

　　n个输出的自相关与互相关函数构成一个n×n阶的输出相关矩阵RY(τ)：

　　上式也可以下列形式表示写成：

　　若将该式中两个积分的乘积改写成二重积分，并交换求平均与积分的次序，可得：

　　该表达式给出了多输入与多输出系统的输出相关矩阵与输入相关矩阵之间的关系式，其中，输入相关矩阵为：

　　三、响应的谱矩阵
　　系统的n个输出的自谱与互谱构成了一个n×n阶的输出功率矩阵SY(ω)。

　　其中矩阵元素为

　　输出功率矩阵也可以表示成下列表达式的形式：

　　将输出相关矩阵表达式代入上式，可得多输入与多输出系统的输出功率谱矩阵与输入功率谱矩阵间关系式

　　其中H(ω)是系统的频率响应矩阵， 是H(ω)的转置矩阵，H(ω)的共轭矩阵为

　　而输入功率谱矩阵为

　　四、激励与响应的互相关矩阵
　　系统的m个激励和n个响应构成一个m×n阶互相关矩阵RXY(τ)

　　矩阵的元素为

　　激励与响应的互相关矩阵也可表示为：

　　五、激励与响应的互谱函数
　　系统的m个激励和n个响应构成一个m×n阶的互谱矩阵SXY(ω)

　　其中，矩阵元素的定义为

　　激励与响应的互谱矩阵也可表示为

　　类似地，有下列表达式成立：

　　Y为输入，X为输出。Y→X，H的逆矩阵

　　      · 单输入单输出

　　      · 多输入多输出

　　六、相干函数
　　考虑一多输入与单输出的常参数线性系统，若m个输入Xi(t) (i=1,2,…，m)互不相关，则第i个输入Xi(t) 与单输出Y(t)之间的谱相干函数为

　　相干函数γ2iY(ω)的大小反映了第i个输入所提供的分量在输出总量中所占的比例。可根据各个γ2iY(ω)值的大小来判断系统的主要振源与振动的传递路径。

　　来源：节选自百度文库《随机振动的响应分析》讲义，由ningzequan分享。